Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
6
Рис. 4.9
_ I1Ф* I2 Ф*
1 ~ T----9“’
П =
(ф* - cP1)2
Соответственно этому уравнения Лагранжа имеют вид
11ф1 — С(ф2 — ф|)= О, /2Ф2 + с(<Р2 — ф!> = о,
(4.76)
*) В сопротивлении материалов устанавливается: с = GJpIl, где G — модуль сдвига, Jv — полярный момент инерцип сечения вала, I — длина вала.
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 97
Т. Є.
ЙЦ = 11, Й22 = І2, Й12 = Й21 = О,
Cll = C22 — С, С12 = С21 = — С.
При этом выполняется условие (4.72) и один из корней частотного уравнения равен нулю. Действительно, подставив найденные значения коэффициентов в частотное уравнение, получим
-{he+ 12с) к2+ I J2Ici = О,
отсюда
Zc1 = 0, к2 = Cll^11K (4.77)
Для того чтобы понять физический смысл нулевой частоты, вернемся к системе дифференциальных уравнений (4.76). Их главная особенность состоит в том, что опи допускают не только частное решение колебательного типа
Фі = Ai &m(kt + a), 7g^
ф2 = A2 sin (kt + а),
но также частное решение вида
фі = ф2 = Cl + C2t,
которое описывает равномерное вращение всей системы как жесткого целого (без скручивания упругого вала). Этому частному решению и соответствует нулевой корень частотного уравнения к і = 0.
Частному решению (4.78) соответствует отличная от нуля частота к2, данная в формуле (4.77), а также определенное отношение амплитуд колебательного движения
х — ^ — _ Il kV-A1- V
Таким образом, общее решение представляется в виде
Фі = At sin(kt + a)+ Ci + C2t, (4 79)
Ф2 = XziAi sin (kt + а) + Ci + C2t
и содержит четыре постоянные: Al, a, Ci и C2, определяемые из начальных условий.
Движение, описываемое законом (4.79), представляет собой колебания, наложенные па режим равномерно-
7 я. Г. Пановко
98
ГЛ4 I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
го вращения. Чисто колебательную составляющую движения легко выделить путем введения новой переменной
ф = ф2 — фі,
которая представляет взаимный угол поворота дисков, т. е. угол закручивания вала. Если теперь записать уравнения (4.76) в виде
Фі — т (cPa — Фі) = °>
1I
Ф2 + f (ф2 — Фі) = О 2
и затем вычесть первое уравнение из второго, то получим одно дифференциальное уравнение для функции ср:
ї + (71 + т> = 0'
Отсюда видно, что колебания угла ф следуют одночастотному закону
ф = A sin (kt + а).
Можно сказать, что рассматриваемая система имеет одну степень свободы, которой соответствует вращение системы как жесткого тела, и одну колебательную степень свободы. Аналогично, в более сложном случае, когда с валом связано s дисков, число колебательных степеней свободы равно s — 1.
7. Влияние трения. Дифференциальные уравнения движения изменятся, если учесть, что при колебаниях механической системы возникают силы трения. В случаях, когда они линейно зависят от скоростей точек системы, дифференциальные уравнения движения вместо (4.4) примут вид
Ujiql + a 2qz + ... + a,sq, + b,\q\ + bj2q2 + ... + blsqs +
+ C1Iq1 + c]2q2 + ... + c]Sqs = 0 (/ = 1,2,..., s) (4.80)
или, в матричной форме,
[а}{?}+[Ь}{?Жс}{д} = 0, (4.81)
где матрицы [а] и [с] определяются выражениями
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
99
(4.49) и (4.50), а
~ъп 6X2 ... ь13
Ib) = *21 '.22. ••• ьи
_ъп ^ss _
— матрица демпфирования.
Решение уравнений (4.80) следует искать в форме, отличающейся от (4.27), а именно
Ъ = А3е“ (/ = 1,2,...,5). (4.83)
После подстановки (4.83) в (4.80) получится однородная система алгебраических уравнений относительно A3; в матричной форме эта система имеет вид
([а] Л2 — [Ь]Л + [с]) L4} = 0. (4.84)
Для того чтобы все Ai одновременно не обращались в нуль, необходимо, чтобы равнялся нулю определитель системы (4.84); это приводит к характеристическому уравнению
det( [а] А,2 + [Z>]A + [с] )= 0. (4.85)
Если все элементы матрицы (4.82) положительные, то вещественные части всех корней характеристического уравнения — отрицательны. При этом среди корней уравнения (4.85) могут оказаться отрицательные вещественные корни, каждому из которых согласно (4.83) соответствует монотонное затухающее движение неколебательного характера. Наряду с этим среди корней могут оказаться и комплексные сопряженные корни вида X = —а + ф, Я/ = —а—ф (а>0). Им соответствует затухающее колебательное движение, описываемое выражением
qh = е-“* (Bh cos {}?+ Ck sin $t).
(4.86)
Общее решение (4.80) получится как результат наложения всех частных решений.
Пример 4.6. Показанная на рис. 4.10 система состоит из способного перемещаться по горизонтали груза 1 массы тге, двух упругих пружин 2 и 3 с коэффициентами жесткости с2 и с/ и линейного демпфера 4, характеризуемого коэффициентом вязкости Ь. Найти общий характер движения системы, которое возникнет по-
7*
Рис. 4.10
100
ГЛ., I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
еле нарушения состояния равновесия груза. Пластинку 5 считать безынерционной.
Обозначим через х\ и х2 отклонения пластинки и груза от положения равновесия. Тогда для пластинки имеем
-C1X1 — M1 + с2(х2 — Xi) = 0, (а)
