Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
79
обратную матрице (4.16), и умножим слова матричное соотношение (4.14) па матрицу (4.18). Тогда получим
[r]{g> = {F>. (4.19)
Для того чтобы выяснить физический смысл элементов г}к матрицы (4.18), представим себе, что на все точки системы наложены дополнительные связи, обращающие в нуль все обобщенные перемещения, кроме перемещения qh, причем последнему придано значение = 1. Тогда r]h представит собой реакцию /-й дополнительной связи, соответствующую перемещению qh— 1 (в строительной механике величины гзк называют единичиыми реакциями) .
Из соотношения (4.19) следуют дифференциальные уравнения прямого метода, а из соотношения (4.14) — уравнения обратного метода. В самом деле, в задачах
о свободных колебаниях F1 = —тД3, так что если ввести диагональную матрицу
I1 0 ... О
) тл ... О
О
(4.20)
то можно записать
(4.21)
Подставляя (4.21) в (4.19), получим
[r]{q) = ~[т\{ф, (4.22)
т. е. уравнения типа (4.9); после подстановки (4.21) в (4.14) найдем
{q) = -[б] [т\{ф,
(4.23)
т. е. уравнения типа (4.10).
Хотя уравнения (4.9) и (4.10) в принципе эквивалентны, однако объемы операций, связанных с вычислением коэффициентов, могут оказаться различными.
Прямой способ особенно удобен для систем цепной структуры, если в таких системах упругие силы несложно выражаются через перемещения двух соседних тел. Таковы, например, системы, изображенные на рис. 4.2. Пусть qs—обобщенная координата, представляющая горизонтальное перемещение j-iro іруза в схеме на
80
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
рис. 4.2, а или угловое перемещение /-го диска в схеме на рис. 4.2, б. IIpu этом сумму упругих сил, действующих на груз (рис. 4.2, а), или сумму упругих моментов, действующих на диск (рис. 4.2, б), можно представить в единой форме:
Qj = -сМі ~ Яі-\)+ Cj+1 (?+! - q}), (4.24)
где с, — жесткость ушругой связи, расположенной между грузами (дисками) / — 1 и /; cJ+i — жесткость упругой
-г//7
/// ’///77777/7777777/
Рис. 4.2
связи, расположенной между грузами (дисками) j и /+ 1. Соответственно дифференциальное уравнение движения ;-го груза в схеме а имеет вид
ЩЪ = -Ciiqj - Ъ-\)+ Cj+1 iqi+i - qi), (4.25)
т. е. соответствует форме (4.9). Таким же будет и дифференциальное уравнение движения /-го диска в схеме б, если заменить инерционный коэффициент rrij на момент инерции диска I1.
Отметим, что в каждом из уравнений (4.25) содержатся только по три неизвестные функции, а для крайних грузов (дисков) уравнение будет содержать только две неизвестные функции. При этом коэффициенты уравнения легко вычисляются по исходным данным задачи. Применение обратного способа в данном случае приводит к значительно более сложным уравнениям, так как число неизвестных функций, входящих в дифференциальные уравнения, возрастает с удалением от левого конца системы, и последнее уравнение содержит все s функций qi- При расчетах крутильных колебаний валов обычно пользуются прямым способам.
4. СЙСТЕМВЇ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
81
С другой стороны, для балочных систем с сосредоточенными массами удобнее обратный способ. Так, для системы, показанной на рис. 4.3, а, придем к ікинетостати-ческой схеме на рис. 4.3, б. В данном случае, пользуясь коэффициентами влияния 6Jft, іполучаем уравнения типа (4.10):
уj = -mij/ifiji — m2y2b$ — ... — msys6la (/ = I, 2, ..., s),
(4.26)
соответствующие матричному уравнению (4.23). Обратный способ особенно часто используется в динамике сооружений.
Пример 4.1. Составить дифференциальные уравпеппя свободных колебаний консоли, песущей на свободном конце груз, обладающий копечпым момептом инерции (рис. 4.4, а); считать, что
a I W'P
m,
Jt
У<
Уг
Уз
-т,У,
тгУ?
~тзУз
6
Рис. 4.3
Рис. 4.4
массой балки можно пренебречь по сравпению с массой груза. Обозначения: I — длина консоли, EJ — изгибпая жесткость, т — масса груза, р — его радиус инерции.
Рассматриваемая система имеет две степени свободы, и за обобщенные координаты удобно выбрать прогиб у и угол поворота ср конца консоли (рис. 4.4, б). Для составления дифферепциаль-пых уравнений движения воспользуемся обратным способом и рассмотрим изгиб безыперциопного скелета, показанного на рис. 4.4, в.
Впешними силами являются сила иперции груза —ту и мо-мепт сил иперции —т р2ср. Тогда
у = —ту8п - тр2фбі2, <р = — тубщ — тр2фб22. Коэффициенты влияпия можно найти методами сопротивления ма-
6 Я. Г, Пановко
82 гл I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
териалов, папример с помощью формулы Верещагипа. В дапном случае они выражаются следующим образом:
________________________________
6H — 8 EJ' б12 — б21 — 2EJ’ 22 EJ'
Таким образом, диффереициальные уравнения движения принимают вид
• ¦Is --I2 •• Z2 --I
тУШГ + тР2Ч2Ш + у = 0’ т у 2EJ + mP2Ф ~gj + ф = 0’
Дальнейший апализ системы см ния«е, на стр. 86, 92 и 93.
2. Решение системы дифференциальных уравнений.
Если условия (4.3) устойчивости состояния равновесия выполнены, то частное решение системы дифференциальных уравнений (4.26) можно записать в виде
