Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
q, = A1 sin (kt + a) (/ = 1, 2, ..., s). (4.27)
Этими выражениями описывается монагармониче&шй колебательный режим с частотой к, общей для всех координат q,.
Подставив (4.27) в уравнения (4.4), получим систему алтебраических уравнений
—к2а\\А\ — /с2аі2^2 — ... — k2aisAs + сиА\ +
+ С12-42 + . . . + Cis^3 = 0, —кга2\А\ — к^а^А^ — ... — k2a2sAs + Сгі^і +
+ С22^2 + . . . + C2,As = 0, (4.28)
—к2а,\А\ — /с2а„2^2 — ... — k2a3SA„ + CsiAi +
+ cS2A2 + ... + CssAs — 0,
однородную относительно неизвестных амплитуд Ai1 А2, ..., As. При колебаниях все они не могут равняться пулю; поэтому, согласно общему свойству однородных систем, должен равняться пулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы:
§ 4 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
83
После развертывания определителя получится алгебраическое уравнение s-й степени относительно к2; напишем эю частотное уравнение їв виде
Ьо-М2 + Ы4- Ьзй6 + ... + (-1)*Ь.Л2' = 0; (4.30)
при указанной расстановке знаков все коэффициенты Ъ, оказываются положительными. Число корней частотного уравнения равно s; эти корни, обозначаемые далее к\, к\, к*, принято располагать в порядке возрастания.
Для рассматриваемых систем, совершающих движение около состояния устойчивого равновесия, все эти корпи вещественны и положительны*). Таким образом, для частот к определяется s значений:
Ai < ki < Аз < • - • < к„ (4.31)
образующих спектр собственных частот системы. (Отрицательные корни можно не рассматривать, так как соответствующие им частные решения типа A' sin (—kt) іпо-иросту сливаются с частными решениями A sin let.)
Для системы с двумя степенями свободы частотное уравнение оказывается биквадратным:
(апагг — а212) /с4 — (апс22 + а22сп — 2аис12) к2 +
+ (сис22 — cia) -0, (4.32)
и имеет два положительных корпя Ai2 и к 2, лежащих в интервалах
0<*ї<^, + оо.
0Il 22
Если обобщенные координаты — главные, т. е. выбраны так, что «12 = 0, с 12 = 0, то корни частотного уравнения окажутся равными
Вернемся к рассмотрению общего случая. Каждому корню kt соответствует частное решение типа (4.27), следовательно, общее решение представит собой сумму
*) Если после решения уравнения (4 30) выяснится противное, то это будет означать нарушение условий (4.3), т. е. неустойчивость состояния равновесия.
6*
84 гл X СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
таких решений:
q,= A31 sin (kit + осі) + Aj2 sin (+ осг) + ...
... + Ajs sin (kst + a.) (j = I1 2, ..., s),
где букне А теперь приписаны два индекса: первый по-прежнему обозначает помер координаты, а второй — номер собственной частоты. Коротко решение можно записать в виде
S
Qi = 2 sin (kit + a») (/ = I, 2, ..., s). (4.33)
І—I
Таким образом, как правило (т. е. при произвольных начальных условиях), изменение каждой из обобщенных координат следует политармоническому закону, причем число гармонических составляющих равно числу степеней свободы системы. Отметим, что если собственные частоты несоизмеримы (как это інередко бывает в реальных задачах), то процесс, описываемый выражением (4.33), строго говоря, непериодический.
При близости хотя бы двух собственных частот общий закон движения оказывается весьма своеобразным. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, причем Ai « к2. Тогда, например, для первой обобщенной координаты имеем
gi =Aи sin (kit + осі) + 12 sin(k2t + аг). (4.34)
Если ввести обозначения
I
B12 = -j (A11 cos Oc1 ±А12 cos CC2),
! (4-35)
В2,і = j (Аи sin Oc1 ± A12 sm ос2),
то вместо (4.34) можио записать
qi — B1 (sin kit + sin k2t) + B2(sin kit — sin k2t) +
+ Bi (cos kit + cos k2t) + Bi (cos kit — cos k2t). (4.36)
Заменяя суммы и разности тригонометрических функций произведениями таких функций, получим
= 2B1 sin 1 2 t cos 1 -2— t + 2Bi sin і X
К + к к +к к. — кп
X cos 2 ~ t + 2B3 cos 2—-1 cos — * t —
-254sin^i^fsin^-^i. (4.37)
4 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
85
/с, — к„
1Г
Заметим, что функции аргумента -Цц—-1 меняются
±t.
медленно по сравпеппю с функциями аргумента —^ Поэтому ,вместо (4.37) удобно записать q\ = Dі sin kt + Z>2 cos kt,
где
(4.38)
(4.39)
— среднее значение двух близких частот к і и /?,
D1 = 2 cos ^ f — sin ^ t j,
D2 = 2 (В2 sin + B3 cos ^ tj
— медленно меняющиеся периодические функции време-
(4.40)
ші; их частота ^ ч
Окончательно находим вместо (4.34) <7х = Л* sin (И + а*),
где
A* = YdI + -°2, а* = arctg ^
(4.41)
(4.42)
— медленно меняющиеся функции времени. Таким образом, движение носит синусоидальный характер с
периодически медленно меняющейся амплитудой; график этого движения показан на рис. 4.5. Период изменения амплитуды составляет
Tte = ^ = (4.43)
Д/с/2 к1 — к2
86
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
и тем больше, чем ближе частоты к\ и кг- Такие колебания называются биениями.
Движение, соответствующее второй обобщенной координате ?2, также представляет собой биения, но сдвинутые по фазе относительно движения q\.
