Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 3.6 показтпы завпспмостп (а) п (б), а также найденный в примере 3.2 результат точного решении.
(3.23)
(а)
Реіаение (6) I
° 0,2 OA OM ' 0,8 і
Рис. 3.6
о
72
ГЛ. I. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пример 3.4. Для системы с кубической характеристикой
F (я) =с? + P?3
найти частоту свободных колебаний методами гармонического ба-лапса и медлепио меняющихся амплитуд.
Первое приближение по методу гармонического баланса найдем по выражению (3.19), подставив туда
2JT
IC 3
I1 = — \ (с A sin i|) РЛ3 sin ?) sin ifi гіф = с A -f- PA3.
О
Таким образом, получаем
г 9 Зр.42
к — ко + 4а *
Для решепия по методу медленно меняющихся амплитуд находим по выражению (3.22)
2 jx
Cf РЛ3С0831|Л 3 Яр43
)=.) Г~-------а------j cos i|) tfi|) = -j- -
О
и соответственно по выражепию (3.23)
3 рA2
к — kQ + 8 ак0 ’
или
2 , зрA2 9 Р2Л4
= fcO +-IT+64 к*"- (б)
Как видпо, результаты (а) и (б) совпадают с точпостыо до последнего слагаемого в выражепии (б).
Здесь, кстати, отметим, что решепие (б) становится очевидпо ошибочным, если характеристика системы чисто нелинейная, т. е. когда с — 0 и соответственно ки = 0. В этом можно видеть напоминание о том, что метод медленно меняющихся амплитуд в принципе применим только к системам с малыми нелиненпостями.
§ 4. Линейные системы с несколькими степенями свободы
1. Способы составления дифференциальных уравнений движения. Наиболее общий вид дифференциальных уравнении движения может быть получен в форме уравне-
ний JIarpaHHta, которые при консервативных силах имеют вид
§ 4. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 73
где T її П — кинетическая п потенциальная энергии, q, и q3 — обобщенные координаты и обобщенные скорости, / = I, 2, ..., s — номер координаты, s — число степеней свободы.
Из курса теоретической механики известно, что при малых движениях іголономной системы со стационарными связями около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии следующим образом выражаются через обобщенные координаты:
Qjhtfj Які
j ,h—\
Здесь j = I, 2, ..., s; к = I, 2, ..., s; а]к = ам — инерционные коэффициенты, Cjh = см — квазиупругие коэффициенты, называемые также обобщенными коэффициентами жесткости.
К выражениям (4.2) можно прийти путем рассуждений, аналогичных изложенным выше при выводе выражений (1.4) и (1.8), относящихся к системе с одной степенью свободы.
Если соответствующее нулевым значениям координат положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия в этом положении имеет изолированный минимум, а второе из выражений (4.2) есть положительно определенная квадратичная форма. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства (критерий Сильвестра):
-її
¦О,
сп С12
•О,
tfU °\2 С13 cIl °}2 ' • cU
°21 °22 С23 >0, С21 С22 ' • С2$
С31 С32 сзз cSI CS2 css
>0. (4.3)
Применительно к системам с несколькими степенями свободы эти неравенства имеют тот же смысл, как и условие с> 0 для системы с одной степенью свободы (CM. § 1). При выполнении неравенств (4.3) система, выведенная из положения равповесия, совершает свободные колебания.
Подставив выражения (4.2) в уравнение (4.1), получим следующую систему линейных однородных диффе-
74
ГЛ I СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ренциальных уравнении с постоянными коэффициентами:
О, / = 1,2.....в. (4.4)
2 (a}kqh + сMk) fc=i
Конечно, фактическое составление системы уравнений
(4.4) ие обязательно вости по схеме Лагранжа. Во многих задачах о колебаниях удобно пользоваться более непосредственными способами — прямым и обратным.
Согласно прямому способу из системы выделяются сосредоточенные массы (или твердые тола) и каждая из них рассматривается как свободная материальная точка (или соответственно как свободное тело), находящаяся под действием позиционных (восстанавливающих) сил, которые выражаются через выбранные обобщенные координаты; после этого записываются соответствующие дифференциальные уравнения движения для материальных точек (или тел).
Обратный способ противоположен прямому: после отделения сосредоточенных масс (или твердых тел) рассматривается оставшаяся безынерционная система жестких и упругих связей, т. о. «безмассовый скелет» системы, который находится под действием кинетических
% \щ
jWk \гл, I I -I j т2 \ I I I I I _J
а
m1 bfa-Xf) V2
C2Ix2 я»
е
Г не 4 1
реакций отделанных чаїстей системы, причем кинетические реакции (силы инерции) выражаются через обобщенные ускорения. Затем формулируются статические соотношения для неремещеппй беэмассового (безынерционного) скелета системы.
§ 4 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
75
Проследим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из двух тел с массами Hii и т2, соединенных двумя пружинами, жесткости которых равны C1 и с2 (рис. 4.1).
За обобщенные координаты примем горизонтальные перемещения Х\ И X2 грузов, отсчитывая эти перемещения от состояния равновесия, в котором пружины не деформированы. Удлинения пружин в процессе движения равны AZi = Xi, Al2 = х2 — х\.
