Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ml3 " P (31 - vt) v2t2 m
SEjy+ У =-------§EJ-----• <5-9)
Решение этого уравнения см. ниже в примере 5.5.
2. Случаи кинематического возбуждения. К дифференциальному уравнению (5.6) сводятся не только задачи о силовом возбуждении, но также задачи о кинема-
тическом возбуждении, когда колебания механической системы вызываются некоторым заданным (в частности, колебательным) движением каких-либо ее точек.
Так, например, если к грузу маятника не приложена сила, но ось шарнира обладает горизонтальной подвиж-
104
ГЛ. II. ВЫНУЛ?ДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ностыо и ей заданы колебания x = x(t), то они вызовут колебания и самого маятника (рис. 5.1, в). Для того чтобы получить дифференциальное уравнение абсолютного движения, запишем (сравнить с выражениями .(5.7)):
т=т(х + іф)8 ^ n = jWf (? = 0; (5Л0)
отсюда для угла ср следует уравнение Лагранжа
Ф+_|_Ф = --^. (5.11)
Как видно, оно совпадает с основным дифференциальным уравпепием (5.8), составленным для случая силового возбуждения, если ввести эквивалентную вынуждающую силу Q(t)= —тх.
Возможна несколько иная трактовка этой задачи, если рассматривать движение маятника как сложное, состоящее из заданного поступательного переносного движения вместе с шарниром и искомого относительного вращательного движения. Дифференциальное уравнение относительного движепия следует составлять с учетом переносной силы инерции — тх, момент которой составляет —mix. При этом придем к уравнению моментов
— mglq> — mix = ml2q>, (5.12)
которое совпадает с уравнением (5.11).
Формально системы, показанные на рис. 5.1, а, в, обладают различным числом степеней свободы, тан как положение системы на рис. 5.1, в определяется двумя координатами — углом ср и линейным перемещением х. Ho координата x(t) задана, она не «свободная», так что второй степенью свободы система в сущности не обладает; «свободной» координатой, т. е. неизвестной функцией времени, является только угол отклонения ф и, как мы видели, для его определения достаточно одного дифференциального уравнения (5.6).
Копечно, в этой задаче можпо составить и второе уравнение Лагранжа, соответствующее координате х. Из такого уравнения определяется приложенная к оси гаарпира сила, необходимая для создания заданного движения шарнира: впрочем, вопрос об определении этой силы может и не возникать.
На рис. 5.2 показаны еще два примера систем с кинематическим возбуждением колебаний. В первом случае вертикальные колебания упруго подвешенного груза 1 вызываются заданными вертикальными колебаниями платформы 2; во втором случае крутильные колебания
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
105
диска 1 возникают из-за вращательных колебаний опорного диска 2, которые здесь считаются заданными.
В подобных случаях удобнее составлять дифференциальные уравнения относительного движения тел, обозначенных на рисунках цифрами 1. Результаты решения такой задачи позволяют сразу определить усилия в упругих элементах.
Пример 5.1. Составить дифференциальное уравнение вертикальных колебаний упруго подрессоренного груза при безотрывном движении колеса по неровному участку пути (рис. 5.3). Профиль участка задан уравнением
у = h( I — e-v),
где h — предел, к которому стремится высота неровности; к — параметр, характеризующий кривизну профиля. Кроме того, дано: тп — масса груза, I — высота расположения центра тяжести груза при его относительном покое, с — коэффициент жесткости упругой подвески, V — постоянная горизонтальная скорость груза. Размерами колеса пренебречь.
Рассмотрим движение груза относительно поступательно движущихся осей |, г), которые жестко связаны с центром колеса. Ось I совместим с вертикальной осью подвески, а горизонтальную ось г) проведем на высоте I, считая от уровня профиля.
Тогда при движении по неровности абсолютная вертикальная координата начала подвижной координатной системы определяется выражением
у* = &(1 —е~ух)+1.
Подставляя сюда х = Vt и дважды дифференцируя по времени, находим переносное вертикальное ускорение
we = —h’{2v2e~^t и переносную силу иперции упруго подрессоренного груза Ie = mh^2v2e~'lvt.
Дифференциальное уравнение отпосительпого движения груза имеет вид
тгег) = —Cr) -f- mh'fv2e~'ivi',
УоМ
106
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
приводя его к форме (5.6), имеем
г) -f- Ic1 г) = Ау2у2е-?,,г.
Решение этого уравнения см. ниже в примере 5.4 (стр. 114—115).
3. Действие гармонической вынуждающей силы. Обратимся теперь к решению основного дифференциального уравнения (5.6) и пачнем со случая, когда обобщенная
гармоническому закону. Такова, например, переменная сила,передаваемая на фундамент машиной с неуравновешенным ротором (рис. 5.4). При надлежащем выборе начала отсчета времени этот закон можно записать в виде
силы связана с ее частотой. Решение дифференциального уравнения
состоит из двух частей: 1) решения однородного уравнения q + k2q — 0, а именно: С\ sin kt + C2 cos kt) 2) частного решения уравнения (5.13), которое при аФк следует искать в виде A sin at. Подставив это выражение в
