Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда видно, что эквивалентная вынуждающая сила составляет P = сАо sin (nvt/l), т. е. ее амплитуда равна сА0. Соответственно выражению (5.16) находим амплитуду абсолютных колебаний груза:
An An
0 __ 0
і (® Vі n2v2m
I * J 1 eZ*
которая по условиям задачи не должна превосходить значения 0,05Л0. Следовательно,
< 0,05,
Tnn2V2
Cl2
т. е.
С <
0,47 Tiiv2 I
Пример 5.3. Для условий предыдущего примера определить допустимые значения коэффициента жесткости с, если требуется, чтобы дополнительное усилие в подвеске не превосходило 5 % статического значения усилия mg.
При прежних обозначениях наибольшая динамическая деформация подвески равна А — A0, а наибольшее дополнительное усиление в подвеске составляет
сА„
c(A-AJ=r
По условию должно быть
сАп
к2/а>2
где со = nv/l. Отсюда находим, что коэффициент жесткости должен быть либо достаточно малым, удовлетворяющим неравенству
с <
1 + 20 A0Oi2Igi
(при любых значениях безразмерной дроби 20 A0(HiIg), либо достаточно большим, удовлетворяющим неравенству
тгеш2
С > 1 — 20A0(X)2Ig
(при 20A0(o2lg < 1).
4. Действие произвольноЗ вынуждающей силы. Решение дифференциального уравнения (5.5) при произвольно заданной правой части может быть получено с по-
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
111
мощью известного из курса математики метода вариации произвольных постоянных. Однако более нагляден иной путь решения, к изложению которого мы и переходим.
Прежде всего рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть в момент t — | к покоящейся системе приложен обобщенный мгновенный импульс S; согласно (1.14) при t > | решение имеет ШІД
q = q(l) cos k(t — |) + ^ sin к (t — I).
Входящие сюда значения обобщенной координаты и обобщенной скорости непосредственно после приложения им-
S
пульса равны q (|) = O, q (|) = —. Следовательно, движение описывается выражением
Ч = -§к sin к ?)• <5-18)
Функция
описывающая движение, вызываемое единичным импульсом, называется импульсной реакцией системы.
Теперь будем рассматривать произвольную вынуждающую силу Q = Q(t) как беско- й, нечную последовательность элементарных импульсов @(|)d|, показанных на рис. 5.8. Подставив в выражение (5.18) S =
= (?(|)d|, мы найдем колебания, вызываемые действием одного из таких элементарных импульсов. Чтобы определить О движение, которое вызывается заданной силой, необходимо Рис. 5.8
сложить влияния всех элементарных импульсов; таким образом, при пулевых начальных условиях находим
t
? =-JF J ?(1) sinM*-EK- (5-19)
о
Если кроме рассмотренной здесь силы Q = Q(t) в заданные моменты времени Il, |г, . . Ir (здесь Ir < t) на
/
А
112
ГЛ. II. ВЬІНУЯЇДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
систему действуют конечные мгновенные Si, S2, ..., Sr, то вместо (5.19) будет і
1
импульсы
ак
J Q (I) sin к (t — I) dl -I- 2 Si sin к (t— h) .
- n i=l J
Наряду с (5.19) существует другой вариант решения, который иногда оказывается более удобным. Преобразуем (5.19) с помощью правила интегрирования по частям
^udv = UV — Jy du.
Полагая здесь Q(I) = U и sin k(t — l)dl = dv, находим du = Q(l)d% и v = ~y cos к (t — Q. Соответственно (5.19) преобразуется к виду
Ч = ^2 [<? (S)cos к (* — 6) — J Q © COS к (t — D dl J |о =
= -у ^ (г) - Q (O) cos kt- J (I) cos к (t -1) dl j. (5.20)
Этим выражением можно пользоваться только в тех случаях, когда при ?>0 функция Q(t) не имеет разрывов, т. е. производная Q(t) конечна на всем промежутке интегрирования.
Если сила Q(t) претерпевает конечные разрывы AQu AQ2, A Qt в заданные моменты времени її, І2, ..., Sr
(lr<t) (см. рис. 5.9), то вместо (5.20) будем иметь
,-«и-
cos к (t — I) dl—
г
-----^2 A(?i cos/с (i — li)t
1=1
Остановимся на двух важных частных случаях.
1. Действие кратковременной силы. Пусть сила Q = Qо внезапно появляется в момент t = 0, действует в течение малого промежутка времени ?*,, а затем
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
113
внезапно исчезает (рис. 5.10). Если f* меньше полупе-риода свободных колебаний Г/2, то наибольшее отклонение системы достигается после исчезновения силы. Тогда для согласно решению (5.19)
U
9а
ак
J8i
sin к (t — I) dl
sin sin к ft——
Наибольшее отклонение равно
2C0 .
Я max = Sm Па,
где a = t#/T. Коэффициент динамичности, равный отношению дщаї к статическому перемещению gCT = Qo/c,
|л = 2віпяа,
определяется только значением а (рис. 5.11) и не превосходит значения 2.
Нужно заметить, что если постоянная сила действует в течение малой доли периода свободных колебаний, то
Qi
Qo
*
Рис. 5.10
действие такой силы во много раз меньше статического; например, при ?*/T = 0,01 можно найти (г = 0,062 — динамический эффект в 16 раз меньше статического. Вообще действие кратковременной силы определяется не столько ею самой, сколько значением ее импульса. В самом деле,
о
[** <* -1
sin /Cf J <2 ©cos Jcl dl - cos kt j Q (?)sin /с| dg L (5.21)
О 0-1
8 Я* Г* Дановко
114
ГЛ. И. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
