Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
t
j Q (І) sin к (t—Ddl==S sin kt.
Подставляя его в выражеппе (5.33) и учитывая, чю IcT = я, получаем
S sin (л</Г)
= 2ак '•
Наибольшее отклопепие равно 5/(2а/с), т. е. вдвое меньше, чем в случае действия однократного импульса. Графпк движения показан па рис. 5.15, a. IIa ірафике скорости (рис. 5.15, б) ясно в^дны разрывы скорости, обусловленные приложением импульсов.
122
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 6. Системы с одной степенью свободы при наличии
линейной восстанавливающей силы и трения
Влияние трения па вынужденные колебания, происходящие вдали от резонансных режимов, обычно невелико, и в практических расчетах им чаще всего пренебрегают. Однако вблизи резонанса учет трения становится необходимым: без этого ошибки в определении амплитуд вынужденных колебаний становятся недопустимо большими.
При произвольно заданной вынуждающей силе анализ колебаний относительно прост при условии, что трение в системе — линейное. Значительно сложнее исследование колебаний систем с нелинейным трением — даже в простейшем случае чисто гармонической вынуждающей силы приходится довольствоваться лишь приближенным решением.
1. Действие гармонической вынуждающей силы. Если трение в системе линейное, то в случае вынужденных колебаний дифференциальное уравнение (2.6) должно быть дополнено членом, выражающим действие вынуждающей силы; здесь примем ее в виде
Q(t) = Я sin at,
так что получится
aq + bq + cq = H sin соt. Вводя прежние обозначения
(6.2)
(6.1)
(6.3)
приходим к уравнению в следующей форме:
q -f 2hq -f k2q = sin at.
(6.4)
Его общее решение имеет вид q = е~ht (C1 sin k%t -f- C2 cos k^t) -J-
sin (at — у), (6.5)
где
к* =Vk2-K2
(6.6)
есть частота затухающих колебаний системы, а угол "f, характеризующий отставание фазы перемещения от фа-
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
123
зы силы, определяется выражением
tgy = T^4; (б-?)
к — со
постоянные Cl и C2 находятся из начальных условий.
Первая часть полученного решения представляет собой колебания с частотой к%, которые с течением времени затухают и вскоре после начала процесса становятся
практически несущественными. Основное значение имеет вторая часть общего решения
H
q = "~Г/Т^~ 2\2 2 2 sinH-T)' (6.8)
а V (к2— со2)2 + 4й со v '
описывающая незатухающие установившиеся колебания, происходящие с частотой возбуждения.
124
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Постепенное установление стационарного колебательного процесса с частотой со иллюстрировано на рис. 6.1 для трех случаев. В первом случае (рис. 6.1,а), когда со <К к, в начале движения основные колебания частоты ю сопровождаются затухающими колебаниями большей частоты. В противоположном случае, когда со > к (рис. 6.1,6) на основные колебания с частотой со накладываются затухающие колебания с меньшей частотой к. Наконец, при близких значениях частот к и со движение носит характер биений, которые постепенно затухают (рис. 6.1, б).
Амплитуда установившихся колебаний определяется выражением
Отношение амплитуды А к статическому перемещению qcт = H/с равпо
н представляет собой коэффициент динамичности. Зависимость коэффициента динамичности от отношения частот (й/k показапа на рпс. 6.2, а для различных значений 2h/k, характеризующих демпфирующее действие линейного трения; эти графики дополняют рпс. 5.5, который относится к системам без трепня.
Максимумы кривых ц(а/к) лишь незначительно смещены влево от значения а/к = 1; поэтому резонансные значения динамического коэффициента обычно определяют при со = к по выражению
^pe3 = ИЛ' (6.11)
Согласно (2.12) это значение выражается через логарифмический декремент:
A =
H
H
(6.9)
і
(6.10)
___ л
Fpee — Х.
(6.12)
Иногда резонансное значение коэффициента динамичности называют добротностью системы: чем больше добротность, тем острее резонансный пик.
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 125
126
ГЛ II ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В этом параграфе выше предполагалось, что амплитуда вынуждающей силы имеет заданное постоянное значение, не зависящее от частоты со. Если амплитуда H вынуждающей силы пропорциональна квадрату частоты (Н = Z(O2)1 то, подобно (6.9), находим
А =--------„ K(S? ------------. (6.13)
ак‘
Г
2 2
На рис. 6.2, б показаны графики зависимости относительной амплитуды Аа/К от значений со/к при различных значениях отпошепия 2h/k.
Пример 61. Вертикальная вынуждающая сила (6.1) действует на тело массы т, которое оперто на систему пружин и вязких демпферов (рис. 6.3, а); с — коэффициент жесткости системы пружин; 6 — коэффициент вязкости демпферов. Определить
амплитуду силы, передаваемой на основание пружинами и демпферами при установившихся вынужденных колебаниях системы.
Искомая сила, передаваемая на основание, определяется выражением
N = Ьд + eg,
в котором q — вертикальное перемещение тела, отсчитываемое от состояния равновесия.
Подставляя сюда согласно (6.8) — (6.10)
цЯ
д = — sin (cof — V),
получаем после замены 6 = Ihclk2
