Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
134
ГЛ II ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Комплексная амплитуда (6.27) может быть представлена также в виде экспоненты. Для этого нужно прежде всего освободиться от мнимости в знаменателе, умножив числитель и знаменатель (6.27) на выражение с — аю2—
— ibо. Тогда получится
Таким образом, согласно (6.26) и (6.30) комплексное перемещение определяется в виде
а его мнимая часть, т. е. искомое перемещение,— в виде
Естественно, полученные результаты совпадают с полученными выше (см. выражения (6.7) и (6.8)).
Принятый выше выбор начала отсчета времени, конечно, не имеет принципиального значения. Так, при другом специальном выборе начала отсчета времени ту же вынуждающую силу можно записать в виде Q = = Hcosat. Тогда комплексные величины вводятся так, чтобы было Q = Re Q, q = Re q. Для этих величин вновь получится уравнение (6.25)*) и останутся справедливыми все соотношения (6.26)-(6.32); лишь вместо (6.33) естественно получится
Наконец, если начало отсчета времени иринято произвольно, то вынуждающая сила представляется в виде H sin(o)i + ф). Вместо уравнения (6.25) будет
~ґ _ H [(с —аса2) — гбсо]
(с — ай)2)2 + (бо))2
Отсюда непосредственно следует, что
Ж = Ае~г\
(6.30)
где
A = IA
(6.32)
q =A sin (оit — "f).
(6.33)
q = A cos(o)f — y).
ад + bq + сд=Нег<-фі+
*) В этом случае иногда поступают, как сказано в сноске на стр 133, но удерживают в решении не мнимую, а действительную часть.
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 135
и вместо частного решения (6.26) нужно принять
д = і?е'("‘+ф).
При этом опять окажутся справедливыми выражения (6.27) — (6.31), но вместо (6.32) получим § = Аены+*-1\
а вместо (6.33) —
q = A sin(o)? + ф — ч) •
Как и должно было получиться, общие характеристики колебаний (амплитуда, частота) совпадают с тем, что было найдено выше для случая, когда вынуждающая сила записывалась в виде Hsinat.
Комплексная форма удобна и при анализе действия произвольной периодической вынуждающей силы, которую можно представить в виде разложения в ряд Фурье (5.23). В данном случае к комплексной форме удобно перейти несколько иначе, чем это было сделано выше. В каждый член ряда (5.23) подставим
cos nat = ~y (<?іпШ + e~inat), sin not = (einat — e~inat).
Тогда после перегруппировки слагаемых вынуждающая сила запишется в виде
G °°
О (0 = -f + 2 IT l(Gn - IHn) einat + (Gn + іНп) e~inat).
П=1
(6.34)
Входящую сюда сумму можно представить в виде двух
OO
сумм. Первую нз них запишем в виде 2 BnCinat, где Bn —
n=i
1 °° * *
= -я-(Gn- iHn), а вторую — в виде 2 B*ne'inat, где і?* =
z n=i
= -у (Gn -f iHn). Заменив вторую сумму эквивалентным
— оо
Bnemat, придадим всему разложению
п=—1
(6.34) компактную форму
оо
Q(t)= 2 Bneinat, (6.35)
Tl=-QO
136 гл. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
в которой
(Gn - HIn) при п > 0;
Bn = -T'Go при п = 0;
~~2 (^n “Ь Шп) при п < 0.
Отметим, что каждое из слагаемых BnCinat — комплексная величина (кроме вещественного слагаемого В о), но сумма любой пары слагаемых с номерами п и —п — вещественна. Соответственно вещественна и вся сумма
(6.35). Совокупность величин 125J представляет амплитудный спектр силы Q(t).
Опираясь на представление (6.35), запишем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
OO
aq -f- bq -f- cq = 2 Bneinat (6.36)
Tl = -OO
и будем разыскивать его решение в виде
OO
q = 2 Aneinat. (6.37)
— OO
Подставляя (6.37) в (6.36) и почленно приравнивая коэффициенты при одинаковых членах е,гш(, входящих в обе части равенства, найдем комплексные амплитуды
In = BnWn. (6.38)
Здесь
Wn =--------------2------- (6.39)
с — а (гса>) + іЬпь)
— частотная характеристика, подобная (6.29), но с заменой со на па. Окончательно имеем
OO
q = 2 -BjJ^ne5nolf- (6.40)
Tl=-OO
Отметим, что здесь, как и в (6.36), каждому слагаемому номера п соответствует комплексно сопряженное слагаемое номера —п, так что сумма любой такой пары слагаемых вещественна.
Совокупность величин \2BnWnI образует амплитудный спектр перемещения q(t). Сопоставляя (6.35) и І6.40),
§ е. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
137
можно условно сказать, что амплитудный спектр перемещений «равен» амплитудному спектру вынуждающей силы, «умноженному» на частотную характеристику системы. Так как частотная характеристика зависит от номера п, то соотношения между амплитудами гармоник перемещения отличаются (чаще всего, существенно отличаются) от соотношений между амплитудами гармоник
Рис. 6.7
вынуждающей силы. Естественно, что, как правило, особенно значительными оказываются амплитуды тех гармоник перемещения, частота которых близка к собственной частоте системы.
Один из примеров такого рода показан на рис. 6.7,
который относится к случаю, когда на систему с соб-
ственной частотой к действует периодическая вынуждающая сила с периодом 8л/к. Частоты гармоник этой си-к к Зк Ък лы равны ; -j-', к; ¦ •, Т. е. частота четвертой
гармоники совпадает с собственной частотой системы.
