Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
118
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой вызывает особенно значительные колебания. Это будет тогда, когда частота па этой гармоники близка к собственной частоте к, так как при этом знаменатель соответствующего члена суммы (5.25) близок к нулю. При равенстве частот па = к наступает резонанс (за исключением случаев, когда соответствующие величины Gn и Hn равны нулю).
Описанный способ отчетливо выделяет опасные возможности резонансных режимов, но не очень удобен, так как приводит к бесконечным рядам, которые не всегда достаточно быстро сходятся.
Рассмотрим теперь иной способ, который приводит к замкнутому решению для установившихся вынужденных колебаний. Рассматривая действие периодической силы (5.22), будем разыскивать решение q = q{t), имеющее тот же период Т, что и у силы, т. е. оно должно удовлетворять условиям периодичности:
qo-q(0)=q(T), q0 = q (0) = q (T), (5.26)
где go и go — обобщенная координата и обобщенная скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени t. Движение в интервале [0, Т\ описывается выражением
t
q = q0 cos kt + sin kt + j* Q (I) sin k(t — Q dl, (5.27)
о
которое является обобщением решения (5.19) на случай ненулевых значений qo и qo-
Для дальнейшего необходимо образовать выражение обобщенной скорости q. При дифференцировании по времени t интеграла, входящего в (5.27), должно получиться два слагаемых: первое представляет производную по верхнему пределу t и равно подынтегральной функции при I = t, а второе — результат дифференцирования по t, входящему как параметр под знак интеграла. Ho первое из этих слагаемых равно нулю и, таким образом,
t
• 1 Г
q = — qQ к sin kt -f qQ cos M-Jr- j Q (I) cos k(t — I) d\.
о
(5.28)
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
119
Для момента времени t = T выражения (5.27) и (5.28) дают
т
Q (т) = ?о cos кТ + -у- sin кТ + ~ j Q [I) sin k(T — I) d\,
О
(5.29)
т
q (T) = — q0k sin кТ + q0 cos kT + -j- j Q (I) cos к (T —g) dg.
0
Теперь введем сокращенные обозначения для постоянных величин:
г г
j* Q (ё) cos к\ d\ = C0, \ Qffiainkldt = S0 (5.30)
о о
її перепишем выражения (5.29) в виде
cos кТ с
о Ж~ l5O'
q0 =- q0 cos ItT +-^ sin кТ +-?^ C1 g0 = - g„ft sin кТ + g0 cos kT + C0 + ^ S0.
(5.31)
В левых частях этих соотношений заменено g (71) на до и ?(71) на до, как это следует из условий периодичности решения (5.26). Два соотношения (5.31) представляют собой простую систему двух алгебраических уравнений относительно неизвестных д0 и до; решив ее, найдем
А Г UrP
?0 = 25^0^-2- + 5,,
% =
2 а
S0 Ctg
кТ
Cn
(5.32)
Теперь с помощью выражения (5.27) можно окончательно получить
fI (0 == 2оЛ; [(*» ~2 + S0) Cos kt +
( -1
+ fa, Ctg Щ- - Co) sin и + 2 j Q (I) sin k(t-l) di . (5.33) ' о
Это решение представляет движение в промежутке времени [0, f), и в него нельзя формально подставлять t>T. Однако, имея график q(t) для О < t < Т, можно
120
ГЛ. И. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
вследствие периодичности решения без всяких изменений сместить его в соседние промежутки [Т, 2Т], [2Z1, 31],...
Пример 5.6. ІІайги установившиеся вынужденные колебания, вызываемые в линейной системе с одной степепыо свободы
llltK т
Рис. 5,14
периодической кусочпо-постоянной вынуждающей силой Q(t + T) = <2(0 (рис. 5.14):
(SWI=K10 при_0_< t < ~Y, Qdt) = -Q0 при ~Y Ct < т.
Пользуясь разложением в ряд Фурье, по формулам (5.24) находим
Gn = O (1. = 0,1,2,3,,..);
40
— («=1,3,5,...); Hn = O K= 2, 4, 6, ...),
и согласно (5.25) исследуемые колебания представляются суммой нечетных гармоник:
CO
_ 1Q0 'V' sin'recot *
9 ~ яя n=iX6l... « [1 - («co/ft)2] '
При А/со = п (п = 1, 3, 5, ...) наступает резонанс.
Воспользуемся теперь вторым способом решения. Для этого предварительно вычислим по формулам (5.30):
„ 2Qn • кТ I. кт\ с 2Q0 кТ (. „ кТ
со = —0 sin Ti1-cosTj' so = -~т cosT I1 “ cos T
Теперь выражение (5.33) принимает вид
q = ^l — cos kt — tg-^ sin kt'j ^O < t < j,
г = — [l — cos к (t - JL ) - tg UL sin к (t----L
4
T
2 <t<T)'
Как видно, этот результат значительно более удобен для последующих вычислений, чем ряд, полученный выше по первому способу. Отметим, что и в этой записи сразу можно выделить прежнее условие резонанса кТЦ = пк/2 (п = 1, 3, 5, ...).
§ 5. СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
121
Пример 5.7. Наіітп наибольшее отклопепие линейной системы с одной степепью свободы от положения равновесия, если на нее действует периодическая последовательность одпостороппе направленных мгповенпых импульсов S, имеющих период чередования Г, вдвое меньший собственного периода 2л/к.
В даппом случае разложение в ряд особенпо неэффективно ил-за его медлепной сходимости. Воспользуемся вторым способом
решепия и примем за пачало отсчета времени момент, непосредственно следующий за моментом приложения какого-либо импульса. По формулам (5.30) найдем
C0 = S, S0 = 0.
Кроме того, в данном случае
