Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
-f [ehT (C* cos к*Т -f- S* sin k^T) — C4.] sin k^t) -f t
_1_
і
I
f Q (I) e-h(t~l) sin K (t - I) dl (6.24)
: J
Уравнение (6.24) описывает закон движения системы в интервале времени [0, Т]. Этот закон затем повторяется в следующих интервалах времени: [Г, 2Т], [2Т, ЗГ]
и т. д. Если построен график функции (6.24), то смещением его на период, два периода и т. д. получим графики движения для следующих (или предыдущих) интервалов времени.
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
131
В частном случае, когда трение в системе отсутствует, т. е. h = 0, выражение (6.24) переходит в ранее найденное выражение (5.33).
Пример 6.3. Найти движение, которое вызывается действием односторонних периодических импульсов S. Период импульсов T и значения коэффициентов а, 6 и с будем считать заданными.
Совместив начало отсчета времени с моментом, наступающим сразу после приложения какого-либо импульса, получим по формулам (6.23), как в примере 5.6, C* = S, Slt = O. При этом выражение (6.24) приобретает вид
При малом отношении периода T импульсов к собственному периоду 2Iilk3f (высокочастотное возбуждение) зависимость q(t) имеет вид, показанный па рпс. 6.5, а; при этом за один период T
успевае^т осуществиться лишь часть одного цикла свободных колебаний и роль вязкого трения относительно невелика. В противоположном случае, когда указанное отношение периодов велико (низкочастотное возбуждение), зависимость q(t) подобна показанной на рис. 6.5, б. Здесь за один период T происходит более одного цикла свободных колебаний и становится заметной роль вязкого трения.
Особенно важен случай резонанса, когда период T импульсов в целое число раз больше периода 2л/к% свободных колебаний. Обозначив указанное число буквой г, имеем T = Inrlkse. В этом случае1 sinAr^r = 0, cos IiieT =1 движение описывается выражением
Se h^r V [sin кц, (Т — t) + ehTsin fcgt] акц: (l —2ehT cos It3eT + e2hT)
Я
О
T T
t
a
Я
О
T
T
6
Рис. 6.5
Se MsinAr*f q = аК (1 - е^тУ
9*
132
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Вспомнив, что однократный импульс вызывает движение
найдем, что в случае резонанса, вызываемого периодическими ударами, движение описывается тем же выражением, но с допол-
TT TTгпЛ TTt TTt-TTlir VA гчгТчгїчттTTTTД TTт^ллг •
г = 1. Зависимость коэффициента P от отношения частоты импульсов са = 2KjT к собственной частоте Ict показана на рис. 6.6 для случая h/k = 0,1.
4. Комплексная форма решения. При анализе установившихся вынужденных колебаний часто пользуются понятиями комплексных величин — комплексной обобщенной силы Q и комплексного обобщенного перемещения (комплексной координаты) д. Хотя комплексная форма записи может показаться несколько искусственной, но она очень удобна, в частности, тем, что любые линейные операции над функциями типа гармонических колебаний (дифференцирование, интегрирование, решение линейных уравнений и т. д.) выполняются гораздо проще, когда эти функции представляются не в виде синусов и косинусов, а в комплексной форме в виде экспонент (показательных функций).
Переход к комплексной форме может выполняться по-разному. Например, при гармоническом возбуждении колебаний и надлежащем выборе начала отсчета времени гармонпческую выпуждающую силу можно описать выражением (J = Zisinwi (такой выбор начала отсчета времени не обязателен; ниже будут рассмотрены иные варианты). Далее вводится комплексная вынуждающая сила Q = Не‘ш‘, мнимая часть которой равна заданной вынуждающей силе: Im Q = Q (еш‘ = cos со? + і sin cof),
и комплексное перемещение q, мнимая часть которого
О
0,5 1 15 2
Рис. 6.6
* Отсюда, между прочим, видно, что самым опасным является первый резонанс, рогда
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ 133
представляет собой искомую обобщенную координату: Img = д. Таким образом, дифференциальное уравнение
(6.2) можно переписать в виде
Im (ад -f- bq -f cq) = Im (Heiat),
а отсюда — перейти к уравнению, связывающему комплексные величины д и Q*):
aQ + bg -f eg — Heiatt (6.25)
Частное решение этого уравнения имеет вид
д= Seiat. (6.26)
Подставляя (6.26) в (6.25) и сокращая на общий множитель еш‘, получаем уравнение относительно комплексной амплитуды А, из которого находим
А =-------1—• (6.27)
С — ДО) *4“ іЬ(й
Знаменатель правой части
с = с — асо2 + ib® (6.28)
называется комплексной динамической жесткостью. Таким образом, комплексная амплитуда вынужденных колебаний равна отношению амплитуды гармонической вынуждающей силы и комплексной динамической жесткости системы. Величина, обратная комплексной динамической жесткости
W =-------{------- (6.29)
с — aw +
представляет собой частотную характеристику (комплексную динамическую податливость) системы. Как видно, частотная характеристика системы определяет комплексную амплитуду вынужденных колебаний при единичной амплитуде вынуждающей силы.
*) Иногда вместо уравнеппя (6.25) пишут аЧ + bq + cq = Heiatt,
мысленно подразумевая под q комплексное перемещение и имея в виду, что затем в найдепном выражепии q будет удержана только его мнимая часть (см. также сноску на стр. 134).
