Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Х = Л?L_ap+^Av, <>)
А С
где вектор-потенциал магнитного поля
A=-L[Hr], а потенциал электрического поля
<р = - Ег.
Учитывая, что [Hr]v = H[rv], из (I) получим
jf = -!2L+,Er+-i-H[rv].
5.60. Направляя ось г вдоль направления напряженности магнитного поля,
получим
X = JL (ра + ру + 2*) + _±_ pV/.
Отсюда найдем интегралы движения:
р = 1JL, = траф + Л- рЩ - р0; оф 2с
Рг = == тг = р20;
" ^ д? , • д? ¦ д? ., mv2 и
Н = Р -f?- + Ф-f?- + z -- = Я0.
др дф дг 2
5.62 Вектор-потенциал магнитного диполя с моментом ц равен
А= JEL.
г8
Следовательно,
" __ геоа е it [гу]
2 с * г8 '
212
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
Отсюда найдем уравнение Лагранжа
тг = -¦ [vH],
с
где
Зг (fir) - [W2
Н
1"
5.63. Учитывая, что вектор-потенциал монополя
д _ JL. [пг] г г -пг
найдем (п - единичный вектор)
wtia , eg [пг] v
Z гс г - пг
и, следовательно,
от = _3L_!ilL
С Г3
5.64. Напишем лагранжиан частицы (см. задачу, 5.62)
2 с г3 здесь jLi=|u,(f), причем |х= ["aju,]. Следовательно,
От JlM!L + -?_[vH].
С Г3 с
Приведем также закон изменения кинетической энергии
d mt>a е [г [top]] у
dt 2 _ Т г(r)
Заметим, что вращение нейтронных звезд, обладающих ди-польным моментом,
приводит к появлению вихревого электрического поля и к ускорению
заряженных частиц.
5 65. Напишем лагранжиан заряда в цилиндрических координатах:
$ = - (р* + Р2ф2 4- г2)---------^ [ РЯd?>
уравнения и интеграл движения.
в
тр = трф2- ~ФрЯ, (1)
Обобщенно-потенциальные силы
213
/лр2ф - j pHdp - Л40; (2)
о
р
mz - J р dp. (3)
о
Полагая z = 0, р = г0, из (1) - (3) найдем
= - H(r0, t); (4)
С Гь
mrl ф *- j pHdp = Л40; (5)
о
дН I
= 0.
дг |г=о
Уравнение (5) можно представить в виде
mrl ф - Ф = Мв, (6)
2пс
г, 2я
где Ф = J j Hpdpdy - поток напряженности поля через пло-о о
щадку, охватываемую орбитой эЛектрона. Из (6) и (4) найдем
**> _ On,5 dH П\
- =2лг0 -. (7)
Это соотношение связывает скорость изменения указанного потока со
скоростью изменения напряженности магнитного поля. Интегрируя (7) по
циклу ускорения, получим
Ф = 2яго Я
или
Ф = 2Ф0; Ф0 = яго Н.
Таким образом, поток Ф должен быть вдвое больше того потока,
который был бы, если бы поле внутри орбиты было однородно,
а
напряженность поля равна напряженности на орбите. Это так называемое
бетатронное правило "2 : 1"
5.66. Лагранжиан электрона в цилиндрических координатах
. р
% + рУ + г2) + Г PHdp.
2 с .
214
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
Отсюда следуют уравнения движения и первый интеграл
/пр /нрф2 + - рфЯ; (1)
с
тp2q> ^ J рЯф - М0; (2)
1
В р
Ф J Р (3)
о
в ° 6
тг = - ф
б
Для параксиальных пучков электронов из (2) найдем
тр2ф -|-- раЯ(0, г) = М0.
2с
Затем, учитывая начальные условия, получим М0 == 0 или
Ф=--^Я(0, г), (4)
2тс
Подставляя (4) в (1), получим уравнение
<5>
Замечая, что область, занятая магнитным полем, мала, а продольная
составляющая (по оси г) скорости электрона много больше поперечной, можно
считать, что z=u=const Имея это в виду, перейдем в (5) к аргументу г:
Ф _ Ф ;_"_Ф. 4ар _ "2 d2p
dt dz dz ' dt* dz2
и получим
#p_
dz2 \ 2mcu ) * w
Из уравнения (6) следует, что-<0, т. е. траектория имеет
яг
выпуклость в направлении орта пр, а линза является собирающей Интегрируя
(6), найдем
(Пг(Пг-"!Ш^ <7>
Z,
где гь г2 - начальная и конечная точки траектории (здесь также учтено,
что на протяжении тонкой линзы р почти не меняется).
Обобщенно потенциальные силы
215
Для параксиальных пучков
¦Я (тЧ =-Т' W
dz )zt d \ dz /z, f
где d и / - расстояния от линзы до источника и изображения соответственно
Подставляя (8) в (7), получим формулу линзы
dL f F F J \ 2mcu J
где F - фокусное расстояние Заметим, что изображение повернуто
относительно оригинала на угол
5 67 а) В сферической системе координат с полярной осью, направленной
вдоль р, компоненты вектора-потенциала
(j. sin в
Аг = 0, Ав = 0; Ар
г*
Сначала найдем уравнение силовой линии. Учитывая, что
Н = 8г Qir) - jtr8
получим составляющие
г" 2ц cos 0 у. wsm0 " п
пг = -?---, Яе = -1--, Яф = 0.
г* г*
Для силовой линии
- 4- = -Ь. -I*-2-^de-O
г dQ Hq г sin 0
находим r=Asin20, где А - константа, определяющая данную силовую линию
Лагранжиан заряда
- + rW + г2Bin20q>2)_j-ejxsin^e_ ф
2 гс
Выпишем также интегралы движения
a* & + ryin*Q ф2 = 02.
i?-=mras"n20.^ + -^- -*"??-=. М,. (2)
Зф с г 7
216
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
Очевидно, [u<pl<u0> т. е.
*п2 1
ra sin2 0 ф2
(Л4о-
ер
sin2 0 ] < Уо.
(3)
ffi*r2sin(r)0 V сг
Далее предположим, что имеют место следующие начальные усло-
вия:
т (0) = г0, 0(0) = -|-, ф (0) = 0.
Тогда М0 - ец/сг9 >0, а из (3) следует
sin 0
1
rr0 sin 0
Г
2 > а0 -
/
" У
ер
mtvo
(4)
Величина а0 имеет размерность длины. Например, для протона при Уо'-'0,1с
в магнитном поле Земли (ц=8,Ы025 элст. ед.) получим
/ 4,8.10-1(r)-8,1.10*" \>/2 , 1то
ал - [----------------!-----------------) =- 1,61 ¦ 1010 см.
0 V 1,67.10-**.9-102".0,1 )
Величина а0"-Я-- радиуса Земли (/?=6,37-108 см). Кроме того, при малых
скоростях а0 5 ¦ 1010 Vc!vo и (4) переходит в соотно-
