Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 47

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 88 >> Следующая

cos ос sin ф. Отсюда получим
Оу = gsinasin9-kgooaa; Оу<р=^81пас08ф
или
do и /. kcosa
vi
(tg9-г -- W, (3)
\ Sill 01 COS ф )
Ф = -1- gsin асов ф. (4)
Решение уравнения (3) есть
(5)
где у = k etg а. Подставляя это решение в уравнение (4), найдем
д(f-i) [1+tg* (т-т) ] х x'M-r-f).
а затем
g sm а у
+-7Тг'",+,(-г-т)]+с- ю
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
189
Возвращаясь к переменным х, у, получим, что xdtg
isr'Mf-f) [1-w(-r-i)]x
и, следовательно,
*"^ЬтЬ-^'(т-т)+
+ ^TrtgW(^-f)] + ^
Теперь выразим постоянные интегрирования через начальные условия х = х0;
у = уй\ х =х0; у = у0 при t = 0:
С = j^tgv-1 (А _ + tgv+1 (-5. - ]-' (х20 +^о),/2;
с1==--?-- Г--1--tgv-l -(---! tgv+1
#sina [ ,y - 1 ё \ 4 2/ Y+l \ 4 2 J J
g sm a J. \ 2y - 1 \ 4 2, /
+-----------tg2v+" f--2*Л1;
Г 2Y+1 \ 4 2 Л
"¦+-isr [-ijb- ^ (-T-t)-
здесь tg<p0 = y0/x0.
При y^l "скатывающая" сила mg sin a не превосходит силу трения, равную k
mg cos a. Скорость материальной точки в этом
190
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
случае обращается в нуль в положении х=с2; у=сг в момент времени t-cu При
материальная точка не имеет точки остановки. Однако при 1/2^у<1
траектория имеет асимптоту, проходящую через точку х=с2 параллельно оси
ординат.
Шероховатая наклонная плоскость действует на материальную точку с силой
| R [ = mg cosa /l + fe2 .
5.18. Пусть на левой грани находится часть цепочки длины s, а 6s -
виртуальное перемещение цепочки по граням призмы. Виртуальная работа силы
тяжести на перемещении левой части цепочки равна pgssinafis, а правой
части (i-а-s)pgsinp6s, где р - линейная плотность цепочки (виртуальная
работа на перемещении цепочки по верхней грани равна нулю).
Следовательно, условием равновесия является условие
- Pgsslna6s + ([ - а - s) pgstaP 8s = 0.
Отсюда
s _ (I - a) sin sin a + sin p
так что разность вертикальных координат концов цепочки равна
Д/i - - а)sin (ft - Д)
sin a + sin p
и обращается в нуль при a='P.
5.19. Вследствие уравнения связи виртуальные перемещения точки
удовлетворяют условию
хбх + 4убу- 4z8z =0.
Для виртуальной работы имеем
кхбх-\- кубу + (кг-g)6z = 0.
Умножив последнее уравнение на неопределенный множитель А и сложив
результат умножения почленно с первым уравнением, получим
(1 + хА) х бх -f (4 + кк) убу - {(4 - хА) г + Ag) бг = 0.
Таким образом, использовав метод неопределенных множителей Лагранжа,
получим систему уравнений
(1 + кХ)х = 0; (4 + хА)у = 0; (4 - хА)г + Xg = 0;
ха + 4уа - 4га - 0.
Эта система приводит к следующим положениям равновесия и значениям А,
определяющим реакцию конуса:
§л
Уравнения Лагранжа с реакциями связей
191
5.20. Запишем уравнение связи в виде
х2 -1- у* = а(r)
(начало координат помещено в центр окружности). Учтем также, что на
первую точку действуют силы с компонентами
Таким образом, согласно принципу виртуальных перемещений
Применяя к уравнению (1) совместно с (2) метод неопределенных множителей,
получим уравнение
(2*i - *2 - *з 4~ ^i*i) 6*1 4- (2Fi - #2 - Fs 4- Kl/i) (r)Fi = 0,
откуда следует, что
2хх - хь - ха+ Mi = 0; 2ух~ Fa - Fa 4- КУг = 0.
Если выбрать ось х, проходящую через первую точку, т. е. положить *i=a;
|/1=0, то найдем, что у2=-г/з-
Аналогичные вычисления для второй точки приводят к условиям равновесия
*1 - Ха
- х - (Х\ *а);
л"
Fl\ = X
Я| = х -^-(*!-*,); Ffi = X ~~{У1 - Уз)'
х J ~ (*i-*а) + -у- (*i-*з)] S*i 4-4-xj^~-(Fi-Fa)4-y(Fi-Fa) j (r)Fi - 0"
0)
а согласно уравнению связи
*i6*i4-Fi6Fi = 0-
(2>
(3 4* ^а) *2 *i ~ 2*g - 0; (3 4~ ^2) Fa - Fi - %Уз ~~ 3"
192
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
т. е.
*i Н~ 2Х) __ ух -f 2уа *а У"
Однако Х\ - а\ уг = 0; уг - - у3, следовательно,
х% + х3 = -.
Теперь учтем, что Х2 "Ь у% = xl + yl, и найдем положения равновесия
второй и третьей точек:
а
х3 4~> Уг - -~уя- ^
а
/15 .
5.21. Положения равновесия точки:
1) * = 0, у = 0, z - + с;
2)х=.0,"=±-^^- -¦
<йЧ asm
2
ее
' ш2а 0)*аа
5.22. Обозначим через <р угол наклона стержня к горизонтали. Реакция в
нижней точке соприкосновения стержня с полусферой направлена по радиусу к
центру сферы, а реакция Rs на краю полусферы направлена перпендикулярно
стержню; причем векторы Ri, R2 и mg лежат в одной плоскости. Таким
образом, уравнения равновесия стержня можно записать в виде
Rx cos 2ф - Rz sin ф = О,
Rx sin 2ф -f R% cos ф = mg,
mg cos ф ^2r cos ф ~j = 2Ягг0 cos фБй! ф.
Разрешая полученную систему уравнений относительно созф, находим
I г Г/ I \2 , II1/2
cos ф " И ---------------]------л------
16г L\ 16г / ^ 2 J
Часть стержня, расположенная вне полусферы, имеет длину /-2г"в Ф = \I-2г
[(-^)* + Д.]'
Выражение для соэф обращается в единицу при 1=4 г.
§ 2]___________Уравнения Лагранжа в независимых координатах
193
§ 2. Уравнения Лагранжа в независимых координатах и законы сохранения
обобщенного импульса и энергии
5,23. В качестве независимой координаты выберем расстояние х по вертикали
от оси вращения блока до груза ти тогда координаты точек: xi=x, а х2=1-х,
где I - длина нити за вычетом половины длины окружности блока.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed