Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
h
Фг=0, h > /0; cos(p2.3=~, Й<10-к
В первом положении равновесия
д"и
дф(r)
= xh(h- /0); й>(r)=
Ф=д>! tnh
во втором и третьем положениях равновесия
д"и
дф(r)
/2 /2_________hi
к (lo - ks)
Ф-Фг,3 /i2 m ;2
6.2. В качестве обобщенной координаты выберем угол 0 между вертикалью и
частью нити между шариком и одним из стержней. Тогда кинетическая и
потенциальная энергии соответственно равны
т_ та(r) 6(r) .
8 sm4 6
am-4Ff ct8e+f(-^-a)a.
Собственные одномерные колебания
223
Положение равновесия определяется из условия
dU _ mga 1_____Л jx>sO_ _ Q
30 2sins 0 \ sin 0 j sin2 0
при 29 = 60°. Следовательно, x = mg! a V3 . Далее, найдем
d*u \ 14
' - mga
30* ")*/ /3
и поэтому
СО* - IJL
2/3 а
6.3. В качестве обобщенной координаты выберем х. Тогда
Т =* -(г2 -f у2) --= - (1 + 4*V) л2; U (х) = mgkx\
2 2
Очевидно, положением равновесия, определяемым из условия
= 2mgkx = 0, является х,ч = 0. Затем получим
- 2 gk.
6.4. Шарик имеет одну степень свободы. Кинетическая энергия
шарика
T=f(l+ 4/Л*2)*2,
а потенциальная энергия
X__________________________________
U {х) = rngpxа + и [ J duY 1 + 4 р2ма js. о
Положение устойчивого равновесия шарика находится в вершине параболы. Так
как
d*u
dx2
то
= 2 pmg + 2x,
x=0
co2 = 2 pg + 2----------------------.
6.5. Функция Лагранжа точки
<?= [J/а2 - 2a#cas<p + /?2 - /"]2,
224
Линейные колебания
[Г> 6
где в качестве обобщенной координаты выбран центральный угол Ф,
отсчитываемый от прямой, которая соединяет центр окружности и точку
закрепления пружины. Потенциальная энергия достигает минимума в точках
Фх = О при а > R + ^
фг,з = ± arccos - ~ ~ при /0 - R < а < /0 + R\
2aR
Ф4 = л при а < l0 - R.
Эти точки являются положениями устойчивого равновесия материальной точки.
Частоты линейных колебаний в окрестностях точек фь Фз" фз, Ф4 находятся
по формуле
дю
d<p* 1,2,3,4
Окончательно имеем
2 _ ka(a - R - l0) . 2 _ ka(lp - а - R) .
1 mR (a - R) ' 4 tnR (a + R) '
= ------[4№ _ (fl2 + Д. _ $2]
4m RH20
6.6. Направим ось z вверх по оси цилиндра, а ось х через низшую точку
пересечения цилиндра и секущей плоскости. В качестве обобщенной
координаты выберем угол ф цилиндрической системы координат. Исключим
зависимость кинетической и потенциальной энергий точки от z и z с помощью
уравнения секущей плоскости. Затем получим функцию Лагранжа
if = Ч52^ +tg2a-sin^) + mg# cos ф-tga
и следующее выражение для квадрата частоты;
со2 = - tg а.
R 6
6.7. Линией пересечения горизонтального цилиндра с плоскостью является
эллипс. Направим ось z перпендикулярно плоскости эллипса, а оси х и у
вдоль его полуосей. Затем перейдем к параметрическому представлению
эллипса;
х - --- cos y^Rslnl;
sin a
Собственные одномерные колебания
225
здесь R - радиус цилиндра, а а - угол наклона секущей плоскости к
горизонту. Тогда получим функцию Лагранжа
% - + cos2i* + mgR cos g,
2 \ sin2 a ]
с помощью которой найдем, что частота колебаний в окрестности положения
устойчивого равновесия |=0 не зависит от угла наклона секущей плоскости и
равна Vg/R .
Кинетическая и потенциальная энергии как функции времени соответственно
равны
т= МуЯТИ
U=±mgRA>slrf^Y^ f+p).
Следовательно,
Отг l/"____
"УЧ
Аналогично
(U) = ±mgRA* = {T).
4
6.8. Выберем х в качестве обобщенной координаты. Тогда Т = -^-(1 -f cPk2
cos2 kx) х*,
а потенциальная энергия
U ==- mgr = mga cos a sin fee.
Приравнивая нулю производную
= kmga cos a cos kx = 0,
dx
найдем положения равновесия:
*e? = (2я-+-1); л = 0,±1,±2#...
Затем получим, что при нечетных п д2и
дхг
Зак. 4
x=xeq
mgk?a cos a sin kx = mgak3 cos a > 0.
226
Линейны* колебания
[Гл. 6
Таким образом,
ю2 = gak* оов а.
6.9, Ответ: <о =
6.11. Поместим начало координатной оси в середину трубки и выберем в
качестве обобщенной координаты смещение х заряда вдоль оси. Тогда
я. Ttl t
2~'
Ц eQ д eQ _ 2eQa
а - х а + х аг - х2
Так как U' - -.2c<^ . 2х, то положение равновесия хм = 0; кроме (а* - х2)
'
того, If (хеч) = 4eQ/a3. Следовательно,
(е<3>0)-
6.12. В качестве обобщенной координаты выберем угол <р отклонения нити от
вертикали. Тогда Т <= -- <р2, а потенциальная энергия взаимодействия
заряда с его изображением
и =--------------------------------- .
2 (А - 1 cos ф)
Из условия ?/' = 0 получим <р#< = 0, а затем Следовательно,
(О =о
2m (h-1)4
6.13. В качестве обобщенной координаты выберем параметр |,
определяющий положение заряда согласно соотношениям
х = асов?; y - bt\n\.
Тогда
T = (о* sin* % + 6* cos21) l\
Собственные одномерные колебания
227
Затем учтем, что потенциал поля между обкладками конденсатора в
цилиндрических координатах равен
ф(р) = Ф01п-/in А-
ri / ri
(ось 2 совмещена с осью обкладок конденсатора). Следовательно,
U= -еф° -¦ In - yaacosag + 6asin2? .
In---
п
Из условия ?7' = 0 получим положения равновесия:
si = 0; |3 = y; 2. = *;
Далее найдем
га a
In-----
ri
(Г (Ы - У (Ь) = -?5s- • -^г1- > 0. m-й- '
Гх
Таким образом, §2. являются положениями устойчивого равновесия с
