Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
одинаковой частотой колебаний, которая равна
со
[еФ, да -6" 11/2
' ^ j '
ri
6.14. Зададим уравнение эллипса в параметрическом виде:
х = a cos 5, у = 6 sin ?.
Параметр 5 удобно выбрать в качестве обобщенной координаты. Тогда
потенциальная энергия заряда равна
U = - еЕа cos 5.
Она имеет изолированный минимум в точке 5=0.
В окрестности этой точки получим приближенное выражение для функции
Лагранжа
<? = -&$ -еаЕ
2 й 2 которое приводит к значению удельного заряда
е 4яа 6я
228
Линейные колебания
[Гл. 6
6.15. Вводя обобщенную координату | с помощью функций x = acoal\ log,
найдем
Т = - (а3 БЫ21 + 62 cos21) |2;
2
и-.- *
У а* cos^| + Ь% sin* | Положения равновесия определяются из условия V -
0:
li = 0;ga = 4; ,|4= 3,1
2 .=• 2 Вычисляя вторую производную потенциальной энергии, находим
-§Г" = Ь.Ы =-f-(o'-",)<0;
-|r(l=U. Ы--^-(о*-6а)>0.
Следовательно, заряд может колебаться около положений ?2, с частотой
m Г [eQ|(a"-62)1i/2
[ "ш*Ьа J
6.16. Потенциальная энергия заряда е в полярных координатах с началом в
фокусе эллипса равна
U = (1 + eoos<p).
Р
Она имеет изолированный минимум в точке <pi=0 при Qe<0 и в точке ф2=я для
случая Qe>0. Соответственно получим
=-------^ (I + в)2; ш| = -2L- (1 -е)2.
тр3 трэ
6.17. В качестве обобщенной координаты выберем угол ф полярной системы
координат с центром в одном из фокусов эллипса. Тогда для точки имеем
р_ Р . j mp1 1 2еcosф4-еа "а
1 + есозф ' 2 (1 + есовф)4
Потенциальная энергия точки равна
U - ^ _ 2eQ (1 4- е cos ф)а
Р pi р 1 + 2e cos ф -[- в8
Собственные одномерные колебания
229
так как сумма расстояний точки до фокусов р + Pi = 2р/(1 - е2). Затем
определим положения равновесия:
Фх = 0; = л; cosq>3>4 = - е.
Далее находим в первом и втором положениях равновесия
дЮ
а<ра
AeQ е2
1
Ф1
дЮ
Следовательно,
Зф2
Фг
(ф1,2>
Р (1 + е)2
AeQ е2 Pd-e)2
__ AeQ е2
тр3
>0 (е< 0);
>0 (е < 0).
(е<0).
Для третьего и четвертого положений равновесия получим 84/ (,>0);
дф2
Ф3.4
в? (<М -=
тр*
6.18. Пусть а - расстояние между проводниками в отсутствие токов, х -
смещение верхнего проводника. Сила, действующая на проводник со стороны
тока Ju равна
2 J as
с2 {а - х)
Суммарная сила, действующая на проводник,
F = - 2*
х --
а - х
где а - JiJ2s./ii с2; к - коэффициент жесткости пружины. Потенциалом силы
F является
U = и
Закон движения проводника
л:2 +2aln^l - -j
(1)
'"'"ГТ:
dx
т
(Eq~U)
следует из закона сохранения энергии.
230
Линейные колебания
[Гл. 6
Положения равновесия
±1/ (f)*-
В этих положениях
V" (хх) = 2х < 0; U" (х2) = 2х > 0.
Следовательно, частота линейных колебаний около положения Хг устойчивого
равновесия равна
2х xt - х2
(О
т
jl/2
6.19. Запишем потенциальную энергию маятника длины / и массы т как
функцию угла отклонения от вертикали:
U = - mgl cos ф + mat sin ф.
Вводя обозначение tga=-a/g, перепишем это выражение в виде
U - - mlYg* + a2 cos(ф - a).
Далее для частоты колебаний получим
-у- W+'a*".
Среднее за период колебаний значение кинетической энергии оказывается
равным
2я/<в
T(t)dt=-^Vg* + a* ,
о
где А - амплитуда колебаний.
6.20. Рассмотрим движение бусинки в неинерциальной системе отсчета,
связанной с обручем. Направляя ось z вертикально вверх по оси вращения и
выбирая в качестве обобщенной координаты полярный угол 0, найдем
Т = JBKA-> и (0) = mg% cos 0 -- R2 Q2 sin2 0.
Положения равновесия определяются из условия U'=0:
0! = 0; 02 = я; cos 0з,4 = - g/R Й2.
Далее найдем
U" (0Х) = - mgR - mR* Q2 < 0;
Собственные одномерные колебания
231
V (02) = mgR - mR2, Q2 > О при fi2 < -;
и*(03,4) = mR2Q2-^- > 0 при Q2 >
Q* /?
Итак,
(eo-JL-n1,
6,21, Удобно ввести цилиндрические координаты, жестко связанные с
вращающимся треугольником, с началом в вершине треугольника и полярной
осью, направленной вверх по оси вращения. Тогда получим уравнение
движения шарика в азимутальном направлении
где I - сторона треугольника. Отсюда видно, что в положении динамического
равновесия
Разлагая правую часть уравнения (1) в ряд по отклонению положения фед с
точностью до линейных членов включительно, найдем
6.22. Выберем 0 - угол отклонения маятника от вертикали - в качестве
независимой координаты. Тогда уравнением линейных колебаний шарика явится
уравнение
Q2 ml cos Фе? = -mg + я I.
(2)
ф + [ 008 ф"? ~ Q2C0S 2<IW] =ф °*
Таким образом, для частоты колебаний получим
а его решением - функция
0(0 = е ml (i4slno)i-f BcoswO,
3KR4
232
Линейные колебания
[Гл. 6
где
Для случая слабо затухающих колебаний (m.wo//3jtf?Ti);>l. Поэтому при
усреднении по времени можно вынести экспоненциальные, множители за знак
интеграла. Таким образом, для среднего по периоду колебаний значения
энергии получим
<?(()> = -bmi"<e'> =
= т1г (Лг -f В2) е ml •
Следовательно, диссипация энергии равна
6.23, Общее решение уравнения
l + 2p| + fflog = 0 для слабо затухающих колебаний имеет вид
g = ег№ (A cos со01 -f В sin ш0*).
Поэтому среднее за период значение энергии
<?> = (Г> + (U) = -f (Л1 + В>) e-sw,
