Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
точки закрепления пружины. В случае пружины, подчиненной закону Гука,
получим лагранжиан
2 = - 2^ °* + тйХ'
где а - ускорение прямой, и соответствующее уравнение
", 2 2 I , 2 X
х4 "о* = "ЫоЬ а\ <*>о =-.
т
Обобщенно потенциальные силы
207
Записывая решение этого уравнения
* = + -V 1" Acos ("о* + °).
(r)о
мы видим, что шарик колеблется, около смещенного на величину а/со§
положения равновесия. Устройство, в принципе подобное рассмотренному,
называется акселерометром и применяется при измерении перегрузок,
вызванных движением системы с ускорением 5 54. а) Введем независимую
координату s - расстояние от начала координат, помещенного на пересечении
прямой и оси, до материальной точки (ось z направим по вертикали вверх).
Тогда
х =- ssinaeosoitf; у = ssinasinz = scosoc;
(s2 + ft)V sin2 a) - mgs cos a. (1)
Используя лагранжиан, получим интеграл обобщенной энергии Н = s ---------
---------"5? - - (s2 - <o2s2 sin2 a) + mgs cos a.
ds 2
б) В неинерциальной системе отсчета, связанной с прямой, запишем
потенциальную энергию в поле центробежной силы инерции:
Uh = - - [wr']2:= - - a>2s2sin2a. (2)
2 2
Затем учтем, что -mjwr'jv' = 0, поскольку г', v' коллинеарны. Далее,
записывая лагранжиан в виде
j? = Г - t/A + mgr'
и используя (2), придем опять к (I).
5 55 Введем обобщенные координаты: р - расстояние от точки до оси
вращения по горизонтали; z - высота точки (ось z направлена вверх).
Тогда, имея в виду уравнение связи ф = ю?, найдем лагранжиан
~ (Р2 + Ра(о2 +z2) -mgz
и уравнения Лагранжа г=-g; р=р<в2. Интеграл обобщенной энергии имеет вид
HL (р2 + а2) - -2L Р2ш2 + mgz = Я0.
5 56. Поместим начало координат в центр окружности, а ось z направим
вверх по вертикали. В качестве обобщенной коорди-
208
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
наты возьмем угол 0 между осью г и ради>сом-вектором точки. Тогда
х - a sin 0 cos cot; у = a sin 0 sin z- acos 0;
<? =_ (02 + to2 sin2 6) - mga cos 0. (1)
Отсюда получим интеграл
// = 0 JL? c? _ (02 - o)2 sin2 0) -j- mga cos 0 =
H0,
30 2
который приводит к уравнению
02 = -^-[Яо-?/ен(0)], (2)
та2
где
Ueft = mga cos 0 а2а>2 sin2 0.
Из (2) следует закон движения точки в виде
dQ
t-t о
~ (г/о - i/elf (0"
та¦
Рассматривая движение относительно неинерциалыюй системы, связанной с
окружностью, можно получить потенциальную энергию
Uh = ~ - [wr'l2 = - J2- co2a2 siii2 0,
2 1 J 2
обобщенный потенциал % = t/ft (поскольку [oor'] _Lv'), а затем лагранжиан
(1),
5.57. а) Поместим начало координат в неподвижную точку окружности, а
плоскость Оху совместим с плоскостью окружности. За обобщенную координату
возьмем ф - угол между прямой, проходящей через ось вращения и центр
окружности, и прямой, соединяющей центр окружности и точку. Тогда
х - acosat -j- acos(a>t+ ф); у= as'mat -j- csin ((r)f-f ф); v2 = [to2 + (оо
+ ф)а + 2(0 (оо + ф) cos ф]"а2.
Опуская члены вида -ф, 0. найдем
dt
$ = (ф2 -г 2со2 cos ф). (1)
Обобщенно-потенциальные силы
209
Далее, получим интеграл обобщенной энергии
-- ф2 - лш2(c)2 cos ф = Я0 2
и уравнение движения
Ф + ю2 sin ф = 0,
т. е. уравнение математического маятника.
б) В неинерциальной системе S' с началом в неподвижной точке окружности и
осью х', направленной по диаметру окружности,
получим
х' = а -(-асоэф; у'=а81пф.
Используя эти функции, найдем кинетическую энергию в S', рав-п\ю
rp, mv'2 _ та8 ,;2
2 2 ^ '
и обобщенный потенциал
= - тJ(c)r'] v' -^ К']2 = - т(c)а2ф (1 + cosф)-m(c)2a2(l~r cos ф).
Опуская опять члены вида -/(ф, t), получим (1).
в) В системе отсчета S', связанной с окружностью и началом в ее центре,
будем иметь
х'=асозф, #' = аб1лф.
Следовательно, обобщенный потенциал
% = - m[wr']v' - у |>r']2 + mw0-r\
где
w0' г' = - (c)2а2 cos ф.
Таким образом, придем к лагранжиану (1).
5.58. Совмещая начало координат с центром Земли и направляя ось z по оси
вращения Земли, найдем, что
tQr']2 = Q V2 - (Qr)2 = QV2 sin2 0;
[Qr'j v' = a [rV] - Qrwe-v,
210
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
где Q - угловая скорость вращения Земли. Тогда лагранжиан
- - (г(r) -f- г20а 4- г* sin2 0 ф2) j- - -j- - r2Q3 sin* 0 -t- mQr2sin*0 •
ip - 2 r 2
= -(/¦*+ r*0*) + - Г* Sin2 0(<p+ ?)*+-.
2 2 г
Затем получим интегралы обобщенной энергии и обобщенного импульса
н - + Г2?) + Yr2slvi 0 (фа - °2) - 7" = я°-' 0)
Mz = = тг2 sin* 0 (ф + Й) = Afz0. (2)
дф
Кроме того, из уравнений Лагранжа
d 2л 2 * л , Л" M2OCOS0 М2м д I
mrB = mr2 sin 0cos 0 (<p + Я)2 = ---------------- ----------------------
-------------------
dt тг* sin3 0 2mr% 50 sin* 0
при помощи умножения на г20 найдем интеграл
I М*° М°. (3)
2 2т sin* 0 2т
Таким образом, из (1) - (3) получим интеграл энергии в виде
-SL+ А М 0Q - = иа,
2 2тг* г0 г 0
что позволяет найти закон движения
dr
t - t0
V-
(Но - Uoil)
т
здесь
Ml
г 2 тг3
Из тех же соотношений найдем уравнение траектории v 2т <40 I dr
V
Miо
w2 ы
0 sin* 0
Обобщенно-потенциальные силы
211
ф-'-Ш -- I - .......................... -
1 sina0
1 ПиР.
V sma 0
sma 0
5.59. Функция Лагранжа имеет вид
