Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
а средняя мощность диссипативной силы
W)} = -2p<?>.
Таким образом, добротность
а для рассматриваемого осциллятора
4 2 k У R
и возрастает с убыванием радиуса образующей окружности циклоиды.
6.24. В системе координат с осью 2, направленной вдоль вин-
Собственные и главные колебания системы
233
товой линии, и осью х, направленной вертикально вниз, уравнение винтовой
линии, лагранжиан и диссипативная функция имеют вид
х = acos 0, t/ = asln0, z = ?>0;
% = + &*) 0а + mga cos 0;
D = ±.(a* + b*)Q\
где 0 - параметр.
Общее решение уравнения Лагранжа
0+ - 0Н-------------^-е^о
т Ф+Ь*
можно представить в виде
0 (0 = еп* |0 (0) cos to t + [0 (0) + ц0 (0)] si^m* |,
где
k <о2 = <о2 -р2; ш2:-------sa
2т и • • и (аа + 6а) -
Колебания являются слабо затухающими, если р <С "0. В этом случае
0 (0 - е-# (0 (0) cos a>0f + [0 (0) + р0 (0)] .
( coo J
Чтобы найти закон движения при р = со0, учтем, что lim cos со t =" 1,
to-"0
а lim -in(d* = t. Таким образом получим
со-+0 0)
е (*) ~ е-м'{0 (0) + [0 (0) + р0 (0)] 0-
Наконец, в случае сильно затухающих колебаний (р,;><ао), найдем
0 (0 = е-* j 0 (0) ch 1 со 11 + [0 (0) + p0 (0)] .
§ 2. Собственные и главные колебания системы
6.25. Кинетическая и потенциальная энергии системы имеют
вид
^ 2 + а^х г)> U-- (СцХ? -|- 2,Ci<iXiX%
234
Линейные колебания
[Гл. 6
ец
Здесь xi~qi - qieq - отклонения от положения равновесия, а &4J | , &U |
. _ дю
CU = дд2 Cla " dfcdfc I/ С22 dft
Далее найдем уравнения Лагранжа:
апхг + О12Х2 + Сцх1-Ь - 0;
"Ь а1Ъх1 + ^22^2 + Cl2Xl " 0"
Решение этой системы ищем в виде
= о
(1)
где АI и Л2 - комплексные постоянные.
Из характеристического уравнения
- И2 Лц + Сц - (О2 flj2
С12 ¦ fi>2 Q.12 С22---й2 ^22
находим два значения квадрата частоты ю22.
Полагая Аг = аёа, получим первое частное решение (со = (Oi)
Сад - <4<h2 \
afcu-си |ве*а'/+л*.
Полагая Ла = найдем второе частное решение (со = со2)
Общее решение определяется реальной частью суммы полученных частных
решений
С22 (ftctw (ftdlz - С12 ..
-------------------a cos (ю^ + а) -(----------------------b cos (<ог^ +
Р);
(r)1^12 С12 С11 Ю2а11
хг = асов (со^ + а) + 6cos (сог^ + Р),
(2)
где а, Ь, а, р - произвольные действительные постоянные.
Представим также общее решение (2), описывающее собственные колебания
системы, в виде суперпозиции функций
0! = A cos (о>1* + а), 02 = В cos (oV + Р).
Собственные и главные колебания системы
235
описывающих главные колебания. Тогда решение (2) принимает форму Xi =
Ai0i -Ь Ai0ai - Аг01 -Ь Аг02)
где коэффициенты
Ai = С2j--' COjfZxi." Al = (Cla C02(3i2)',
Аг = - (<^12 - ^2= Сц - (йгйц.
6.26. В качестве обобщенных координат выберем смещение Xi от положения
равновесия первого шарика и величину х2 = / <р, где ф - угол отклонения
нити от вертикали. Тогда
* 2
гпХ{ , т ,¦ 2 , п' ' I '2\
Т - -1Г + т 1 + 2xxx2cos -г + Jfj);
" А ?
U = кх21 - mglcos -у-.
В положении равновесия xUq = х2е? = 0, а вблизи положения равновесия
тх
T^:zr + f{Xi
= -^-х2-
Следовательно, уравнения движения имеют вид
2x^4- 2Q2xx = 0; х^+Ха + <оох2 =0, (1)
где Q2 = x/m, to2 = g/l.
Характеристическое уравнение системы (1)
2 (со2 - PJ) (со2 - со2) - со4 = 0
имеет решения
ю?,2 = & + ">о ± /"• + <
Затем получим общее решение в виде
Х\ = AjOj -|- Ai0д* ха = Аг0х -f- Дгбг" где 0Х, 03 - главные координаты
системы, а коэффициенты Д! = Юо - со?; А? = ш1;
Аа = cof; Дг = 2Й2 - со|.
236
Линейные колебания
[Гл. 6
в.27. В приближении линейных колебаний функция Лагранжа двойного маятника
имеет вид (см. рис. 6.27)
^ = +") + тРфхФг - tngl ^q>*+ -y-j.
Решение уравнений Лагранжа
2<Pi + Фа + 2<о^Р! = 0;
Ф1 + Фа + шофа = 0 (coo = g/l) ищем в виде cpi>2 = ЛУ(r)'. Тогда
2 (cog - со2) Ах - шМ2 = 0; - Ах и8 + А2 (со2 - со(r)) = 0.
Отсюда найдем собственные частоты
G>1,2 - СОо (2 Т У~2)
и закон движения
Ф1 - 01 ~Ь ба i Фа - ДгА "Ь Ааг0г>
где 01, 02 - главные координаты; Д21- + 1/2; Даа = - 1/"2.
6.28. Пусть хи х2 - расстояния первого и второго шариков от
вершины угла. Тогда потенциальная энергия системы имеет вид
U = 2L [{Vx\ + xl-xxx2 - lxf + {хх - /0)8 + (*а - г0)а]. Определим далее
положение устойчивого равновесия
/г \ ... 2/o+/i . / v . 2l0 + lt
\xVeq - д ' '**8 з •
В этом положении для вторых производных функции U находим выражения:
(&U \ =(Ж\ - у Г 5 , *(U-k) 1.
V дх1 Jeq V дх2 Jeq I- 4 2(2/0 + *!) J'
/ W \ / 34J \ _ Г1 чь-h) 1
\ дххдх% )eq \ dx?xt Jeq L 4 2(2/" + lx) J'
Поэтому частоты соответственно равны
и(r) = Зх/2ш; ю2 = Him + - (/0 - 1г) / (2/0 + 1Х).
1 т
Собственные и главные колебания системы
237
Свободные колебания системы определяются законом
|1 = е1 + еа; g3 = e1-ea,
где |ь |г - смещения из положения равновесия, а 0|, 02 - главные
координаты.
6.29. Пусть фь фг - углы отклонения маятников от вертикали.
Следовательно, вблизи положения равновесия
?/ = ---(ф? + чф+ ^(ф,-<рОв. (1)
а кинетическая энергия
Учитывая, что Оц = 0; ап = аг%= ml2', сп = - х I2; сп = саа = mgl + -f- к
I2, из уравнения (1) задачи 6.25 найдем
