Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
где -?.г - сила, обусловленная потерями энергии на излучение; Е -
электрическое поле, создаваемое частицей,
R - радиус-вектор налетающей частицы.
В дипольном приближении можно пренебречь зависимостью поля от положения
электрона, полагая E(|r-R|)"E(/?). Влияние электрона на движение быстрой
частицы также мало. Поэтому электрическое поле Е можно взять в виде
р _ Q(p + vQ /оч
[р2 +"2^3/2 > W
где Q - заряд налетающей частицы; р - ее прицельный пара-
метр, v - се скорость.
Используя (2) и представляя решение уравнения (1) в виде
ОО 00
г (I) - J гю еш day, rQ - J г (!) егш dt,
- 00 --00
найдем
в ^0) X
Гш _ _ . ; Y - -.
т сед + tya - а)2 m
Работа, совершаемая в единицу времени полем быстрой частицы, равна
АТ _
- е Ev.
dt
Следовательно, передача энергии при пролете частицы
00 00
Д Т=е J vE dt = е j уш еш йш Е (!) dt =
- ОО -оо
00 оо
= 2ле J VojE-^dto = 2пе J уыЕщС1(В =
- оо -00
00 оо
- 2л е J (ущ Еы + vw Ец) d и = 4я е Re J v(r) Еш dco. о о
Учитывая, что Vu> = mra, находим
262
Линейные колебания
[Гл 6
Поскольку не имеет особенности, находим
АТ - | Ев(>12. (4)
т
Теперь получим амплитуду Фурье
Q F "-'(tm)(p_+vl)
Е" = f "" (р+','> dt. (5)
2л J [р2 _{_ "2 (gf/2
Учтем, что [8]
-оо
Н
J [d - *
е""У dX 2 - Ki (ay); Г ------- = 2уК0 (ay),
a J [а8 -4- дс*1 7
:2+х2]3/2 а J [а8 ~f- Xs]
- 00
где /("(*)- функция Макдональда.
Тогда (5) можно представить в виде
ЯОа(_р V V j V \ V J _
а из (4) и (6) получить
(6)
A J - iz [K\ (g) + /Co (g)], (7)
где g = (D0p/o. _______
Если 1>1, to /CvW^ 1/ -e~x и, следовательно,
r . 2x
AT - gg-%.
m o2p*
Таким образом, передаваемая энергия весьма мала. Если g<Cl, то Поэтому
Ко(х)-*~ - In .
2 х
А Т = 2eSQ2
/по*ра
Отсюда видно, что передаваемая энергия сильно возрастает в случае близких
пролетов частицы.
6.54. Плотность и потока энергии электромагнитной волны (|Е| =1|Н|) равна
Т оо
и = --- - Г^ + Я2)^- Г ыш^0),
8я с Т J J
о о
Вынужденные колебания
263
где ыш - спектральная плотность потока излучения 1
сТ
|?("|2; Еш=- Ге (t)e~(tm)<dt. (1)
2я J
Примем в качестве исходного следующее уравнение движения осциллятора в
поле волны (е--ео<0):
r-J-Яг 4- (c)о г =-------- Е(/); (2)
m
здесь wo - собственная частота осциллятора, Я - коэффициент затухания,
Е(^) - напряженность поля волны. Решением (2) является
°° Е
г(*)= г. =----------------. (3)
J m (Оп + 'Ясо - ша
-ОО v
Среднее значение передаваемой осциллятору мощности
Т оо
JP = - е0 <Ev> = - ^ Ev dt - - ~2~ ? e" vad(o. (4)
0 -oo
Отсюда, учитывая, что vw - i(c) гы, получим
JP
2я e0
I
(ш | Ea |2 da>
mT J (to - од) (со - oia)
-OO
где
t % , - ' -,/2 Яа
(c)1,2 = -- ± (c)о* (c)о - у/ (c)о -
Согласно принципу причинности контур интегрирования в последнем интеграле
надо замкнуть в верхней полуплоскости Im(c)>0 Применяя теорему вычетов,
находим
4яа вп
JP =--------°-1Е. |2. (5)
пгТ о
Учитывая (1), выражение (5) можно представить также в виде
4 я2 е% с JP = ------------ и
m а>о
Пусть электромагнитная волна задана напряженностью ¦М
264
Линейные колебания
[Гл 6
В этом случае
Ещ -
Ер
2я
ос
J
fit
е 2 cos (Hit e~mt dt
=---~E0
4 я 0
t (0"! - CD) -
Vl
I (% + со) +
Yi
(4я)а
¦El
Следовательно, среднее значение мощности, поглощаемой осциллятором
(среднее за 1/Я- "время жизни" осциллятора), будет равно
г2 1 со----------
4т
(сов - coi)* +
т'
6.86. Предположим, что волна распространяется вдоль оси у. Тогда
уравнения движения имеют вид:
х Я х "l- Й у - • х -
? +Яг/ -Йл:-
"о
m
-0 = 0;
z + Яг + ю0 z
m
(1)
(2) (3)
где Q=eoH/mc-, (r)o = 2eaU0/mR2. Систему (I), (2) можно свести к одному
уравнению введением комплексной координаты l-x-\-iy:
m
Решение этого уравнения будем искать в виде интеграла
? j
Тогда
"о
(4)
Вынужденные колебания
265
где
(r)1 ^ -Г Ь (r)10> "2 ~ ~~Z Ь "20*
Л *
<*>10,20 = - ^ 2(00 ) ("10 ^ "2о)-
Л
Решение (3) также ищем в виде интеграла
00
г - J 2Й dm.
-00
В результате подстановки найдем
(5)
где
"3,4 -
Za,
?г<(c))
т (со - (c)з) ((c) - (c)4)
: "о; "о = "j/
(c)о
X*
Средняя мощность, передаваемая волной электронам, равна ЛР = - *0 (Ev) =
-~ е0 (Re( 1ЕХ + zEt)) = сш | Ех ((c)) |а , ((c) | Ег (ю) |а
2л е| тТ
п-
-ь
((c) - (c)!){(c) - (c)j) {(c) - (Оа) ((c) - (c)4)
dm.
(6)
Вычислим (6), предполагая, что ?*(") и Ez(m) не имеют особенностей.
Замыкая контур в верхней полуплоскости а>, получим
2л% с р он их ((c)18) (c)ю - (Ого
m
(c)а их ((Ого) (c)10 - (c)го
2 иг (оз0)
(7)
Где и( (ш)
- спектральная интенсивность t-той ком-
поненты поля. Таким образом, если спектр волны сосредоточен вблизи
частоты юго, то поглощаемая мощность отрицательна. Это означает, что
электроны передают .энергию волне, т. е. в системе электронов, движущихся
в заданной конфигурации полей, возникает индуцированное излучение на
частоте ю2о-
В том случае, когда |?г(о))|2 произвольно, (6) можно представить в виде
Ш
I
"X ((c)) 1(c)10 (c)20
(c)10
((c) - (c)ю)4
(c)ао
(ш - (c)20)а ¦
IL. ]
4-
266
