Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
этих координатах функция Лагранжа имеет вид
<ось z направлена вниз по вертикали). Далее согласно общей процедуре
решения найдем, что
6.34. Направим ось х вдоль одного из стержней. Тогда
Преобразуем эти выражения, выделяя движение центра масс и •относительное
движение. В результате получим функцию Лагранжа в виде
где ц - приведенная масса; хт - координата центра масс; х=х2-Х\.
Координата Хт - циклическая, что приводит к нулевой частоте (это
соответствует сохранению скорости центра масс). В системе центра масс
шариков положениями устойчивого равновесия являются точки хе?=0 при а>1 и
6.35. Будем отсчитывать координаты зарядов - углы фх и <Рг - от некоторой
точки окружности против часовой стрелки и напишем лагранжиан системы
= т~Ы! дл_)_ mlxvcoaqi + -Р<ра os<p 2 2
Xeq±{l2-О2)*/* при />а.
Им соответствуют частоты
частоты
§ 2]____________Собственные я главные колебания
системы________________243-
где т - масса каждой из точек; е - ее заряд. Пусть <р - угловая
координата центра масс, а ф- угловая координата относительного положения
зарядов:
Ф" y(<Pi+*Pi)'. Ф = -Фх-
Тогда
2R | sin (ф/2) |
Поскольку координата ф - циклическая, <р=фо- Далее рассмотрим поведение
координаты ф в окрестности точек фед, которые удовлетворяют требованию
dU/d^-О (фед=л:&, где fc=l, 3,...). Частота линейных колебаний координаты
ф в окрестностях этих точек одна н та же и равна
с*-*
4 mR3
Общее решение в указанном приближении имеет вид
ф! = с + at + - Ь cos (co t + р);
2
<р2 = с + of--- 6 cos (to t -f P).
2
6.36. Начало координат поместим в центр Земли и введем обобщенные
координаты: 0 - угол, между радиусом-вектором
центра масс системы и фиксированным направлением, лежащим в плоскости
орбиты; ф - угол, образуемый стержнем с радиусом-вектором центра масс.
Тогда
*1,2 = Rcos 0 =F -cos (0 + ф); [/и = i?sln 0 =F - sin (0 + ф).
2 2
Следовательно,
е? + of = 2 [ W + (¦у У (в + Ф)а];
кроме того, получим потенциальную энергию (/?>•/):
у____________________утМ__________________________у тМ _
1/2
244
Линейные колебания
[Гл. 6
[iW + - (0 + <р)а + -/тги§/2созаф,
Таким образом, лагранжиан маятника [
где cog = y M/R3.
Теперь запишем уравнения движения:
**0+(-?-)* (б + й=0*'
0 + ф = - ЗюоСОЗ ф81и ф.
Из (1) получим
(1)
(2)
е =
р
ф.
4яа-и(r)
откуда следует, что |0|-С|ф|. Поэтому пренебрежем в (2) ускорением 0 и,
рассматривая линейные колебания ф<С1, найдем
Ф + Зсоо Ф = 0.
Итак, частота колебаний рассмотренного маятника в ]/~3 раз больше частоты
вращения центра масс маятника вокруг Земли. 6 37. Имеем уравнения
движения в заданных координатах
(е=-е0)
х-\- Qy-. (c)о] х = 0; y - Qx-сок у - 0; z 4- (oooi "Ь (c)02) z = О,
(1)
(2)
где Q = ейН/тс, (c)" = е0нг/т; (c)м = е0х2/т.
Решение уравнений (1), (2) удобно искать в комплексном
виде
'х\ = кУ) [cj
Характеристическое уравнение системы (1) и (2)
- ((c)2 -f (c)oi) t'O(c)
- fQ(c) - ((c)2 + (c)02)
имеет решение
(c)1,2 = (c)01-- (c)02 ± ]/~(Q2 - (c)01--(c)02)2 - 4(c)0[ (c)02 j,
= 0
Собственные н главные колебания системы
245
которое запишем в виде
<0|,2 = - ((r)oi - (r)оа)* i: V- ((r)oi Н~ (r)оа)а]"
при ЭТОМ
Первое частное решение ((r)=<"i) определяется амплитудами
СО? 4- СО?.
Сг =3 a; Ca = - i -----а.
Аналогично для второго частного решения получим
п __ и. п _ J "1 + a0I Л
- Ь, Са - t--------------.------------ О.
ЙОйа
Отделяя, наконец, реальную часть общего решения в комплексной форме,
находим
х == A cos (<axt -f a) -f В сов (щ1 + Р);
" СО? + О"?, со? + со?,
У - Д ^ sin (o^f 4- а) + в------------------Г--- Sin ((02t + Р)
QcOj Qa)a
(здесь А, В, а, р - действительные произвольные постоянные).
6.38. Положим г, - радиус-вектор t-того атома равным *4o-f Uj, где г"о -
радиус-вектор t-того атома в положении равновесия, ut - смещение этого
атома от положения равновесия; при этом допустим, что полный импульс и
кинетический момент молекулы равны нулю. Тогда
2m,И, =0; (1)
2щ [r,v,] ^ 2т, Jrl0u,l = ~ 2т( [г,"и,[ == 0. (2)
В случае линейных колебаний условие (2) приобретает вид
2m, [rl0u,I = О
(начало координат может быть выбрано произвольным образом). Направляя ось
х вдоль оси молекулы, получим (и =(х, у))
Щ.х1 + пцхг + tufa = 0; (3)
тхух 4- гщуа 4- mjt/з = 0; (4)
чЬУх = "ЧУз- (5)
1) Рассмотрим вначале продольные колебания. Вводя обобщенные
координаты li=X2-Х\\ |2=Хз-ха, найдем
246
Линейные колебания
{Гл 6
Xi - 1 - [(w3 -(- 1Щ) |i т3|з], M - 1Щ. -f" 1Щ 4"
м
х2 = --["А-"А1;
м
Ха - - 4" {mi 4~ ^*а) ?а]-
м
Следовательно, лагранжиан молекулы
1 (m24-ms)ii + m3(mi + m2)i2 +
+ 2|1|2т1т3} y~ (I? + |г).
где "I - жесткость молекулы прн ее продольных деформациях. Далее из
уравнений Лагранжа
тх (m3 + ms) "1 + ШхШфh - щЬАих - 0;
mg (mt + /я2) "а 4- mxtTtgUi - х±Ми2 = 0
находим уравнение для определения частот продольных колебаний
- оа (--j-5-1--\ 4-
\ /их тя тг )
m1m2m3
Следовательно,
2 "1 "14 - -f
l(4r+4r+44±
±*1 л[(")*4- (~У+-^г------------1-
T \ ""i / V n*3 / n"2 J
В частности, для симметричной молекулы (т1 = т3 = т\ /и2 = М)
