Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
= 0
(здесь k = vy2ga). Это уравнение имеет корни 0г = 0О и 03> причем
cos 02 = - [А -- + 4 (1 +ftcosGe)].
2
При k > 1 cos 02=^'- cos (0Q/k), т. e. 02 ^ я, если я/2 < 0O < я; при k <
1 cos 0a - 1 +2/г sin2(0o/2).
5.45. Используя сферические координаты задачи 5.43, напишем выражение
эффективной потенциальной энергии
д|2
Ueff (6) =---------- + mga cos 0 (1)
е v ' 2/па(r) sin(r) 6
и уравнение для точек поворота
?" =-2^-(в). (2)
Учитывая, что Е0 = mv^/2 + mga cos 0О, а М0 = ш0 sin 0О, с помощью (1)
получим (2) в виде
НГ' +-mga (">s0"-cos") " 0. (3)
Первый корень (3) равен 0i=0o, второй подчинен уравнению
jos^ + cos^ о.
2 -sin(r) в* *
По условию задачи (c)2=зт/2. Следовательно,
- t|cos 0О + mga - 0 2
Уравнения Лагранжа в независимых координатах
203
или v\ = - -т. е. < 0О < п. cos 0О 2
5.47. Как известно, энергия взаимодействия заряда с заземленной сферой
", v___________e2R
'г' 2 {г2 - R2) '
где г - расстояние от центра сферы до заряда. Следовательно,
<? = mt>a ^
2 1 2{r2-R2) *
5.48. Введем обобщенные координаты: г и <р - полярные координаты первого
шарика (начало координат совмещено с вершиной прямого угла). Тогда
+ rV) +-*?-
и, следовательно, сохраняются момент импульса
т^ф - Мй (1)
и энергия
-j + Щ) гг + -у mirV = Е0. (2)
Используя начальные условия, отсюда получим
тхг* <р = mxlxva\ (3)
тг + т2 -2 + ^ = mi|
2 2 2 Таким образом, радиальная скорость первого шарика
(5)
"1" я*а
Следовательно, скорость второго шарика в момент достижения стержня будет
равна
Этот шарик достигнет стержня за время
h+h
t-i. Г mi + ma rdr
p" J r ffil h
tY-
mj
ш
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
Далее из (3) и (5) найдем уравнение траектории первого шарика: r = lx sec
(q> ~\f---).
V г mi-i-tih /
5.49. Положение точки 1 будем определять полярными координатами р и ф1, а
положение точки 2 - углом 0 отклонения нити от вертикали и азимутальным
угЛом фг. Тогда лагранжиан
+ Р2($ + -?-1р2 + (г - р)2 02 + V ~ р)2 <р*в1п'0] +
" А
+ щм {I-Р)cos 0
И дает следующие интегралы движения:
а* ДЛ
Mj_ = -г- = mxPV = М1в;
Оф1
М2 = -д%- . = ш2 {I - Р)2 Фа Sin2 0 = Mso; (1)
dq?sj
е - -f- (р2 + р2ф!) + -f - fp2 + (/ - р)а 0а +
+ (t - р)г ф 2 sin(r) 0] - m^g (I -- р) cos 0 = Е0. (2)
Если начальные условия выбраны так, что ф2О=0о=О; 0о=О, из (1) и (2)
получим
5.50. Рассматриваемая плоская система имеет четыре степени свободы. В
качестве независимых координат выберем: jco, уо -
координаты геометрического центра ромба; <р - угол, образован-
ный осью абсцисс и диагональю ромба, которая соединяет первую и третью
материальные точки; | - расстояние первой материальной точки до центра
ромба Декартовы координаты удобно отсчитывать от силового центра. Тогда
имеем
Xl = x0 - |С0Вф; & = & - ? sta Ф*.
х2 = - V Е - I2 slfl Ф. Уг = Уо + V Г- - I2 cos ф;
*з = Н + ?собф; уз = у0 + ?зшф;
х* = -"о 4- Vl2 - i2sm ф; Уо = у.-/Р=?совФ.
где I - длина стороны ромба
Сравнения Лагранжа в независимых координатах
205
Дифференцируя эти формулы и подставляя значения производных по времени в
формулу для кинетической энергии системы
T-Y{Xl + yU + ^ + +
после упрощения найдем
Т = пг ^2x1 + 2(/оН-р-i* ^ )
Так как на i-тую материальную точку действует сила
F; =" -ar( (t = 1, 2, 3, 4),
то обобщенные силы равны
i </= '•2-3-4)-
1=1 1=1
Выражение в квадратных скобках выразим через независимые координаты
?(г,),-4(л5+^) +2Л
1-1
Следовательно,
Qi = - 4ах0; = - 4ш/0; Qs = Q4 = 0.
Далее находим уравнения Лагранжа в независимых координатах:
tnx0 + ох0 = 0, пгу0 + ау0 = 0; |/? + |?/(/г - ?г) = 0; ф = 0.
Приведем общее решение этой системы:
- а* cos 1 + ^sin -у/" *;
уа =¦ a^oos Л/- t + bySin у - t;
Г m f tn
I = I sin (Q0* -f ф0); ф = q>0/ + ф0;
здесь ах, ау, Ьх, Ьу, ф0, фо, По, фо - постоянные интегрирования,
определяемые начальными условиями. Из общего решения видно, что центр
ромба описывает эллипс вокруг силового центра При этом ромб равномерно
вращается с угловой скоростью ф0 вокруг своего геометрического центра, а
его диагонали изменяют свою длину с частотой П0/2л.
206
Уравнения Лагранжа
[1л 5
5 51 В качестве обобщенных координат выберем координаты радиуса-вектора
rm центр масс системы и вектора г=г2-гь Далее запишем лагранжиан системы
it it it
и уравнения Лагранжа
Г" = в; иг = - X (Г - во)
5.52. Если в качестве независимых координат взять координаты радиусов-
векторов гх и г2 зарядов, то
mLr'f т2г22 Piea , " л в<.
"г ----------\ j [- ех Егх + e2fcr2.
2 2 1га - гх I
Если же за независимые координаты выбрать координаты радиуса-вектора
центра масс гт и г=г2-rj, то
+ ma 'J. , р.г(r) вхв" , , "мз, ,
=---------- тт 4- ---------------------h + е.г) Егш +
4---------- (е2т1 - etnh) Ег.
Щ + т*
Приведем соответствующие последним координатам уравнения Лагранжа:
d д? _ д? .
Л ЗГт бгт d bjs = djf . ¦ _ ехе9 г_ _ / "а
дг дг '
(oti + т2) гт - (<?! 4- gj Е;
г3 г \ щ тх j
§ 3. Движение под действием обобщенно-потенциальных сил
5.53. Пусть обобщенной координатой шарика является х - расстояние до
