Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ольховский И.И. -> "Задачи по теоретической механике для физиков" -> 53

Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.

Ольховский И.И. Задачи по теоретической механике для физиков — МГУ, 1977. — 395 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipoteoreticheskoymehanike1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 88 >> Следующая

шение
sin 6 1 _ q
из которого вытекает, что
/го sin 0
г - r0 sin2 0.
Таким образом, в этом случае протон движется по силовой линии. Если
/о~2/?, то, пренебрегая неоднородностью поля, для "радиуса" орбиты
получим
TYICV (0) тг / \ |4 *70
Р° == гг . "7~ " "з" > Ро~78 км.
еп (/•?) г0
Определим теперь границы области, в которой может находиться протон. Из
(4) имеем
sin0
1
г2
гть sin 0
= ± ¦
ИЛИ
л =---5?--[- 1 ± л/ i+
Оо 2г0 sin 0 L V \ Оо /
[1±/1~НгГ81п'в.
г
Оо
Оо
2г0 sin 0
Обобщенно-потенциальные силы
217
Соответствующие области для случая гв/а0< 1/2 показаны на рис.
5.67, а.
б) Полагая 0 - я/2, из (1), (2) получим
+ ^eff (г) -=
где
mv% 2 Ф II
1 О 5 JiLV or j
Графики Ueff для случаев Л4о<0 и Мо>0 изображены на рис. 5 67,6, в
соответственно.
Рис 567
В случае М0<0 для любой энергии Еа движение инфинитно Траектория
симметрична относительно прямой, соединяющей центр Земли с точкой rmm,
которая определяется из уравнения Eq= Ueff (rmtn) •
В случае М0 > 0 при
О <?0<Ц
щах
У(гг)
32 m&yfi
возможно рассеяние или захват частиц. Из уравнения (2), которое
представим в виде
М0
ер
218
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
следует, что <р>0 при г > гг - и <р<0 при г<Г] При r=rt
сМ()
частица имеет "точки поворота" по координате ф. При EQ>Ueff{r2) движение
инфинитно, причем при r=rt <р=0, т е. в двух положениях ее скорость
параллельна радиусу-вектору.
5.68. Лагранжиан рассматриваемой системы имеет вид
Л = (Г.* I -f-' (1)
l,k i
которому при наличии сопротивлений и э.д.с. соответствуют уравнения
Лагранжа
= ас_ (2)
dt SQ, dQ, di% т ' 1 '
Раскрывая (2), получим
?Uk Qk+=- ад. + §i, (3)
к
где - э.д. с., действующая в i-том контуре. Если Llk непостоянны, из (3)
находим уравнения
к
представляющие закон Ома для переменного тока.
Запишем закон изменения энергии для системы неподвижных проводников
Обобщенная энергия системы
"--ЕтГ'Ь-^-тЕ^ь+тЕ^-- (5>
i 44 i, k (
Далее
Л1нщ- = - Q? + ? gt Qt. (6)
i I
Следовательно, разность между работой в единицу времени сторонних э д с.
и выделяемым джоулевыч теплом идет на увеличение энергии электрического п
магнишого полей
Теперь выпишем уравнения Лагранжа в координатах q (координата q%
характеризует пространственную конфигурацию /-того контура).
d д? д? _ р
Обобщенно потенциальные силы
219
Очевидно, величина
д 1 у
dqt 2 2j
l,k
является обобщенной силой, обусловленной взаимодействием токов
5 69. а) Выберем направление тока между узлами до часовой стрелке Тогда
получим
LQ? Q2
X = -----j-+m-Q,);
LQi - g; 0 *=--%- - S.
Далее предположим, что g - gOcos(r)^, и найдем импеданс Z системы, Полагая
Q1 = J1elca(; Q2 - I = получим
iL a) Ji = §q, 0 =-~-(- i (>) §q.
О
Учитывая, что J - "Д - J2, найдем
1 I rj I "L
= /Z; Z
1 1-CL(r)2
iCto
ttoL
б) Аналогично получим
I-iQf Qi (Qi - Qa)a Qj .
2 2Ci 2C 2 2CS '
LQ _ ^L==..M.-." = 0; LaQ., - = 0.
141 Ci С Сг С
5 70 Энергия взаимодействия тока с магнитным полем может быть
представлена в виде
jAjdo = -i-Va>tQ"
где Ф{ - поток магнитной индукции, пронизывающий i-тый контур. Тогда
лагранжиан системы
J? = -/ф2 + Зт^/тсозф 4- - LQ2 + ~#a2Qsta9; (1)
2 2 с
здесь / = 5/3 та2 - момент инерции рамки относительно оси вра-
/ 2
щения; т - масса одной стороны рамки, 1т- - о, - расстоя-
3
220
Уравнения Лагранжа
[Гл 5
ние от оси до центра масс рамки; L - индуктивность рамки; Ф - угол между
плоскостью рамки и вертикалью Согласно (1) имеем интеграл энергии
Е = *та ф2 - 2mga cos ф "Ь -j- LQ2 = Е0 (2)
б 2
и интеграл
0 = =LQ + Ha2siny = Ф0, (3)
dQt
связанный с цикличностью координаты Q и имеющий смысл полного потока
магнитной индукции через рамку. Из (2) и (3) найдем
ф2-}- Uefj (ф) = Е0,
6
где
t/ef( = - 2mga cos ф Н-(Ф0 - На? sin ф)2,
и, таким образом, получим закон движения рамки в виде
ad ф
I/
5 от
Если проводник обладает сопротивлением, то уравнениями движения являются
(LQ + На? sin ф) = - 4i?Q;
и
d
/ф= - 2mga sin ф + На2 Q cos ф,
dt
которые, в частности, для линейных колебаний сводятся к системе
LQ + На2 ф + ARQ = 0;
/ф + 2 mga ф - На2 Q = 0.
5.71. Пусть ф - угол поворота первого контура. Тогда
- ^12 AQ ^22Q2 Н ~
Затем получим уравнения движения системы: d
dt
(^12 ^ 1 ~Ь -^22 Q) "
Обобщенно-потенциальные силы
которые представим в виде
А Ф + LiJi + + ?" Л = 0; (1>
дер
/ф _ = м (2)
Дф
Поскольку /?2 велико (большая нагрузка в цепи статора), то из (1)
следует, что
j A dLi з
2 /?2 <*ф
Учитывая (3), из (2) получим
Однако в квазистационарном режиме ф мало, поэтому
ф MqR2 j dLla ^-2
ф. (3>
ГЛАВА 6
Линейные колебания
§ 1. Собственные одномерные колебания
6.1. Выберем в качестве обобщенной координаты угол ф между вертикалью и
пружиной. Затем найдем смещение точки x=htgy. Следовательно, кинетическая
и потенциальная энергии соответственно равны
т _
5г; =
2 cos4
Положение равновесия определяется условием = 0, т. е.
*(-5---------( \ _ЛяПф_ _ 0
V COS ф ) COS(r) Ф
Таким образом, точка обладает тремя положениями равновесия:
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed