Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ш1 = = о>§ + 2G2,
где to2 = gjl\ О,2 = к/т.
Следовательно,
Фi = a cos ((c)! t + а) + b соз (й2 t + Р);
(2)
Фа = a cos ((c)! t -f а) 6cos (й2 t + Р).
Если й<ш0, то решение (2) описывает почти-гармонические колебания. Чтобы
показать это, запишем (2) в виде
(<Й =Re {(1)ае<а+ (_1) ***** = ^ (3>
где ша- частота биений: йа=й2-й) "*й2/<"о.
Из (3) найдем
Ai,2 = а2 + 68 ± 2 ab соз (йв t + Р - а);
а sin а ± ? sin (coe * + Р) ...
tg Yi.2 =----------:- ". . (4)
а см а ± b cos (<вв t р)
Амплитуды Аиг медленно изменяются с частотой иаОо в пределах | а-
6|^Ai,2<a+6.
Найдем среднюю за период 2я/йо полную энергию первого маятника. Поскольку
A\{t) практически постоянна в течение одного цикла колебаний частоты (r)0,
то
(5)
238
Линейные колебания
[Гя 6
тРа& 2
Аналогично ?2 - --- А2. Следовательно, полная энергия системы
E = Et + Et = mlа (а2 + **)¦ (6)
Из (5) и (4) видно, что энергия каждого маятника меняется
со временем (эффект биений). Этот эффект будет наибольшим, если а~6.
Например, выберем начальные условия в виде
Ф2 (0) = % (0) = 0; Фх (0) = ф0; ф2 (0) = 0.
Тогда а=ф=0; а=Ь~ ф0/2. В этом случае Л х =ф0СО501т^;
A2=9osin<W, где частота модуляции (лт=т12. Таким образом, из (6) и (5)
следует
тРа>20ч>1
Ei = ~ (I + соз(r),*). ?. = -^-0-costo,()-
6.30. Кинетическая энергия системы
Т_ "*? , т'4
2 2'
где xt - отклонение t-того отрицательного заряда от соответствующего
положительного заряда Потенциальная энергия системы
У--Л-+1Г-^-------------------------+-<*?+4>.
R - % R -(- - Xi R -J- x% 2
Предполагая, что расстояние R велико по сравнению с *i и х2, после
разложения в ряд находим
Т, 2е" е* , тюо , 2 ,
U = XiX*--------------------- (Xi 4- Х%).
1 2 R 1 2 1 2
Далее запишем уравнения движения системы
хх + сооХх - Й2лг2 = 0; Зс2 + (r)о*2 -- Q2 *х = 0;
Qa = -. mR3
Из характеристического уравнения
(cog - "*) ((c)* - юа)-?24 = 0
Собственные и главные колебания системы
239
найдем собственные частоты
<о
При рассмотрении этой задачи по квантовой теории энергия системы имеет
дискретные значения
?л,л, = Ав>1 -j +Аша -j,
где tii, щ - квантовые числа ("ь "2=0, 1, 2,..,). Для
энергии
основного состояния (лг=п2=0) находим
Е00 = - ((c)! -J- со2). (2)
Используем здесь значения частот из (1) и учтем, что ?22<юо.
Тогда, разлагая в ряд (2), получим
Еоо = А М) /1 " - Н ""• \
\ о)д J
Следовательно, взаимодействие атомов приводит к добавочной отрицательной
потенциальной энергии ~1//?6. Таким образом, осцилляторы будут
притягиваться с силой ~ IfR7, которая называется силой Ван-дер-Ваальса.
6.31. Кинетическая энергия системы
-г тР "2 . тР -2.
Г = - 9i+--ф2;
здесь ф1, ф2 - углы отклонения маятников от вертикали. Потенциальная
энергия
U = - Mgl COS фх - Mgl СО S ф2---5^1;
1 R
К1 = [а +1 sin ф2 - I sin фх]а + /* (cos фа - cos фх)2 (1)
(ось z направлена по вертикали вниз).
Предполагая далее, что фЬ ф2<1, 1ц>и /ф2<Са, получим после разложения в
ряд
?/ = J^L(,p2 + q^)__-L(V8_Vi)+ ^_(ф2_ф1)а #(2)
Затем найдем положение равновесия
_________уМЧ_______
с* (^Mgl 4у )
Фи, -
"I
240
Линейные колебания
1Гл. 6
Следовательно,
d*U I 84}
= Mgl
2уЛРР . '84/
eq
в* * Зф1^Ф"
2у АРР
Вводя отклонения ?,=ф<-ф,-в9 материальных точек от положения равновесия,
найдем
м <4 _2
т
М &1 - 2
т
у М*
тс?
ililo -О-
та* Яг
9i + ^
- , ( М " о Y \ - I 2у Л4* п
<?2 "Ь (------------й>2 -2 JL- q, + -¦Г. -ft = 0.
\ m та* j та3
Из характеристического уравнения получим
"а-
Следовательно,
m
М
т.
2у Ж* ^ 2у М*
тег
та*
">"; юа % (ft
а частота биений
шб = % - со2
Л 2уЛ4 \
V а8"о / '
2у М3/2
У т а8 0О
Наконец, полагая Af-т=Дгм, находим
2ут , 3 Ат \
"6 = -"Г 1+---------------.
(Ова3 \ 2т/
6.32. Лагранжиан заряда в цилиндрических координатах имеет вид (е--е0<0)
Х=~ (Р2 + рУ + 22)--^ф[|ярйр--^г2р-^-].
о
Запишем далее интегралы энергии и обобщенного импульса
(p2 + pV + z'2) = r0, (1)
т
~2
(2)
Собственные и главные колебания системы
241
Исключая из (1) <р с помощью (2), получим
n = ~(pa + zs)+t/,
<3>
где
2m [ р cp J ^ 2с др J о
Положение равновесной орбиты определяется уравнениями
р
ди
др
_L [ik + _?<L [pHdp-X
m[p Ф J 2с dp j
X
[¦
Me ?o_
p(r) cp2
dU
dz
= _L fptfrfp e*-z*- ] I ) =0.
m L p cp J 2c 5p J \ с dp )
Из этих уравнений находим
Разлагая U в ряд вблизи положения равновесия ред=Я; zeg-0 по степеням
отклонений х=р-R и z, найдем
у _ спх* са8г"
2 2
где
Са _ ± /лшуи-а ^-L.(Ж)1,,
т \ с ) т \ с /
Далее приближенно получим
тх* т со? " тг3 mat "
<? =---------х3-!----1----г2,
2 2 2 2
где
ш2= Д^-К?
(5>
(6>.
<Й1
тс
тс
(б>
"242
Линейные колебания
[Гл. 6
- частоты радиальных и аксиальных колебаний соответственно. Частоты этих
колебаний порядка частоты вращения по равновесной орбите юо=еоH{R)lmc. Из
(6) следует, что радиальные колебания устойчивы при условии 0<<?<1
(мягкая фокусировка).
6.33. В качестве обобщенных координат удобно выбрать координату х точки
подвеса и угол <р отклонения математического маятника от вертикали. В
