Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
= ¦- ф + {ф -f s2 + 2qs cos a) -j- m^gs sin a.
Теперь получим уравнения движения
К + пц) q + т%s cos а = 0;
s 4- ijcos a = g sin a,
откуда найдем, что
gsina •• _ m2 sin a cos a
S==----------S------------; q - g -*_--------
tnt m,4 m3 sm2 "
1 - cos2 a
m1 -f тг
198
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
Далее, записав уравнение движения тела в виде
щтг = tn-ig + R2>
получим
/?а = та (ira - g)n,
где п -орт, перпендикулярный поверхности наклонной плоскости. Таким
образом,
= Щ, (<7 sin а + geos а).
С учетом силы трения уравнения движения тела имеют вид
(m1 -f- тг) q + тф cos а = 0;
fltsCs-f g eos а) - mjgsina-knh(qslaa 4-gcosoc).
Из них находим искомое ускорение
" •• щ (sin a - к cos a) cos о
Aj - (f -¦ - ' ,
mi + ma (sin a -ft cos a) sin a
5.38. Пусть обобщенными координатами являются координата s тела / на
прямой и угол ф отклонения маятника от вертикали. Тогда
*i = s; ух = 0; х2 = I sin ф + s; у г = - I cos ф
(ось у направлена вверх по вертикали).
Далее находим лагранжиан системы
(s2 4- 2^cos ф 4- ^Ч2) + /и^созф.
Отсюда видно, что координата s - циклическая. Следовательно, обобщенный
импульс
= (тг + пц) s + т4 ф соз ф
О S
сохраняется Этот интеграл представляет собой проекцию импульса системы
(mi+m2) хт на горизонтальную ось
"Цикличность" времени приводит к сохранению энергии
-[- (s2 4- 2(зф cos ф 4- /*ф2) - m^gl cos ф =
2 2
5 39 В качестве обобщенных координат возьмем ф(; 'ф2 - углы отклонения
первого и второго шариков от вертикали. Ось у на-
§ 2]_____________Уравнений Лагранжа в независимых
координатах____________199
правим из точки подвеса первого маятника по вертикали вверх, а ось х - в
плоскости качаний. Тогда
xt^k sitltpb Уг = - /j. COS фг;
х2 - sin + /а sin фа; г/2 = -/icostpt -г2совф2.
Следовательно,
~ifф? + [/?ф? + 2/х/2фхф2cos(ф2 - фх) -f ^1ф1] +
a Z
+ migh cos фх + щё {lx cos фх + /2 cos фа).
5.40. Выберем следующие обобщенные координаты: s-положение точки подвеса,
ф - угол отклонения маятника от вертикали. Ось у направим по вертикали
вверх и проведем через тело 1. Тогда
= 0; yt = s; х2 = / sin ф; i/2 = s - / cos ф.
Затем получим
(sa _j_ 2/s ф sin ф + /2ф2) -
- -у-(s - *o)s - "W - mg (s - I cos ф), откуда следует, что энергия
сохраняется:
J?y- + ~~ (Sa + 2/sф sin ф + /2<р2) +
-f (s - /в)2 + тхщ + m2g(s - / cos ф) =
At
а уравнениями движения являются
(тх + гщ) s + 4- ma/cp sin ф = - -и (s - /0) - (тх + т2) g;
at
/щ (Is sin ф + /2 ф) - - m^gl sin ф + ф cos ф.
dt
5.41. Обобщенными координатами пусть будут расстояние i or начала
координат, помещенного в вершину конуса, до точки, а также азимутальный
угол ф. Тогда
х = г sin ос cos ф; у = г sin a sin Ф; z = г cos а;
J? - - (г2 + г2 sin2 а ф2) - mgr cos а.
200
Уравнения Л,агранжа
[Гл 5
Поскольку ф циклическая координата, проекция момента импульса на ось
конуса сохраняется:
М = --М- = тгг sinsa-9 - Ма.
дф
Далее ввиду "цикличности" времени получим
Е = -• (г2 + г2 sin2 а ф2) + mgr cos а - Е0.
Из интегралов энергии и момента найдем t (г), т, е, t-t0 П dr
- (E,-Uerf(r))
т
ГДе ТГ , ъ М%
^eff (г) = ¦ " -¦ b tngr cos а.
а
Затем из интеграла момента получим
М0 г dr
_ Mq Р dr
Ф ~ V 2т sin* a J ~^7W-
¦Ueff)
5.42. Энергия и момент импульса в начальный момент времени соответственно
равны
Е0 = ----------[- mgre cos а; М0 = mv0r0 sin а.
Границы движения точки получим из условия ?0 Uvn или
та
,2
, т44 ,
-f- mgrQ cos а ------------mgr cos а.
2 2 г*
Отсюда найдем, что П^г^гг, где
П = гв; г2 = -!-(? + fti 4. 4йг0); k
2 ' 2g cos а
5.43. а) В независимых цилиндрических координатах г, ф (начало координат
помещено в центре сферы, а ось г направлена по вертикали вниз)
Уравнения Лагранжа в независимых координатах
201
Следовательно, имеют место интегралы момента и энергии
М = = m (о2 - z2) <р = Л/0; (1)
дф
- - д? . д? т
Е = Ч>^±*^--Я = -
дф дг *
(а2 - г2) ф2 + °2г2
2 j-2
= ?0- (2)
Из (1) и (2) найдем t (z) в виде
С dz ¦ = t +10,
J /Q(Z) r 0
где
Q^-H- r/JL - H (a*-z2)---------------^2-1.
Q2 L \ mS I 2m2S J
б) В сферических координатах получим
х = asiti9cos(p; у = asin0sinq>; 2 = acosq>;
Я = (62 + sin2 0 ф2) - mga cos 0,
а затем интегралы движения
М = -г- = та2 sin2 0 ф= М0\ (3)
Е - В -~р + Ф-^| Я = (02 + sin2B<f?) +mgacos0 = Е0. (4)
Эти интегралы приводят к уравнению
где
02--A-(?o-t/eff(0)),
Щ
(Л/f - --------------р mga cos 0.
2ma2 sin* 0
Отсюда получим закон движения t (0) в виде
t - t0= [--------- dQ . (5)
^№.-(/,"(6)1
V-
Затем, исключая время из {3) с помощью (5), найдем уравнение траектории
m m м" С dd
Ф Фо -
/2mJ sin2 в VE" - Uefi(Q)
202
Уравнения Лагранжа
[Гл. 5
5.44. Границы движения маятника определяются положением точек поворота, в
которых 0=0, т. е. определяются уравнением
?o = t4ff(0). (1)
Согласно начальным условиям
2
Е0 ~ -f mga cos 0О; М0 -- mv0a sin 0О.
Поэтому из (1) получим
mpo , " hihq sin(r) 0о
+ mga CPS е0 = - g t h mga cos 0. (2)
Запишем (2) в виде
(cos0 - cos0O) Г1 + Wcose + cos6°) 07 I sin(r) 6
