Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а) В асимптотически удаленной области (при X -»¦ °°) Е, В, Y и X-2X являются регулярными функциями X"1 и ju со следующими асимптотиками:
E= Qn + 0(X~l), B = Pti + 0(\-'),
(6.4.18)
F = 5/ju(3 — ju2) + 0(Х~'), Х-2Х = (1 -JU2) [1 +0(Х-')],
где J, Q и P — постоянные, имеющие смысл соответственно углового момента, электрического и магнитного монопольного заряда черной дыры.
b)На оси симметрии (при ju -*¦ ± I) Е, В, X, Y являются регулярными функциями ju и X; при этом выполнены следующие условия:
?•,„ = 0(1). ?,* = 0(1 -ц2), YtX = 0(1 -н2),
Ytli + 2(F,B>tl - ВЕ^) = 0(1 — ц2),
Bm = O(I), Bx = 0(1-/и2),
X = 0(1 - JU2), X-lXttJ= I +0(1 -JU2).
c) На горизонте событий (при X -»¦ С) Е, В, X, Y являются регулярными функциями ju и X, так что выполняются условия
?•,„ = 0(1), Etx = 0(1), Btli = O(I), В,к=0( 1),
(6.4.20)
IrtM=O(I), ГЛ = 0(1), AT = O(I).
В отсутствие электромагнитного поля перечисленные выше условия при E = B = О превращаются в граничные условия для задачи (6.4.17).
Следующий, основной этап доказательства состоит в установлении дифференциального тождества, связывающего два произвольных стационарных аксиально-симметричных решения. При выводе такого тождества мы будем следовать работе Мазура (1982). При этом существенно используется свойство инвариантности действия (6.4.15)-(6.4.16) относительно группы SU (1, 2) преобразований полевых переменных*). Для установления этой инвариантности удобно ввести вместо переменных X, Y, Е, В новые комплексные переменные г?, связанные с ними соотношениями
-X +іY-E2-B2 =------------ , Е + ІВ=------- . (6.4.21)
?+1 ?+1
В этих переменных л агранжева плотность (6.4.16) записывается в виде ? = 2(1 ——птТГ2 [(I-W)VtV? +
+ (I - ??)Vi7 Vr?- + tvWVt +tjFvSVtT], (6.4.22)
а условие положительности А' эквивалентно неравенству
??+т?тГ < 1. . (6.4.23)
Обозначим теперь через Ф следующую невырожденную матрицу, которая
*) Действие (6.4.15)-(6.4.16) является частным случаем действия вида S[ZA] =fdXsfiyabbaZAbbZBGAB,
где a, b- I....п\ A, B= I, ... ,N-, уаЬ = уаЬ(х); Gab = Gab(Z). Экстремаль такого
д
действия Z (х) называют гармоническим отображением [Мизнер (1978) ]. Указанное свойство инвариантности означает, что в рассматриваемом случае нефизическое прост-
ранство, в котором Z - координаты, a Gab(Z) - метрика, является однорЬдным. Бантинг (1983) предложил иное доказательство теоремы единственности, которое не использует эту симметрию, а основано на свойстве знакопостоянства тензора кривизны в этом пространстве. Изложение этого доказательства и его возможные обобщения см. Картер (1985).
125
построена из ? и 17:
Ф = (1 - ??-тIvT1
Пусть
Zy = Vy Ф-Ф'\ (6.4.25)
где V УФ — матрица, получаемая из Ф почленным дифференцированием ее компонент. С помощью простой проверки можно убедиться, что лагранже-ва плотность (6.4.22) допускает следующую эквивалентную запись:
1 V
JC=- SpOV/ ). (6.4.26)
где Sp обозначает взятие матричного следа, а операции с индексом Y произ-
Yv
ВОДЯТСЯ С ПОМОЩЬЮ метрики уQ .
Пусть U — псевдоунитарная матрица, удовлетворяющая условию
U*i}U =¦ г), 17= diag (— I, I, I), detf/=l. (6.4.27)
Тогда матрица
Ф=?/ФІГ' (6.4.28)
имеет ту же форму, что и (6.4.24) при новых преобразованных значениях ? и т). Если матрица преобразования U не зависит от xY, то очевидным образом лагранжева плотность (6.4.26) не изменяется при преобразованиях (6.4.28). Иными словами, имеет место инвариантность действия
(6.4.15), (6.4.22) относительно группы SU (1, 2) нелинейных преобразований (?,т?) ->¦(?, т?), порождаемых линейным представлением (6.4.24). В соответствии с первой теоремой Нетер эта инвариантность действия влечет за собой законы сохранения. В рассматриваемом случае они эквивалентны выполнению соотношения
Vm(PZm)=O (6.4.29)
для решений Ф полевых уравнений.
Рассмотрим теперь два произвольных поля Фі и Ф2 вида (6.4.24) и образуем из них матрицу Ф = Ф) Ф21. Тогда можно убедиться, что выполняется следующее дифференциальное тождество:
Sp {Ф [VY (Pif)-Vx (Pif)] } + VxIpVx (Sp Ф)] =
= /' Sp { Ф [/, xjx + j2 xjf - 2i2 xjx ] } , (6.4.30)
где
jf = Vx ?,?,-1. (6.4.31)
Тождество (6.4.30) позволяет завершить доказательство теоремы единственности. Пуср. (Ar1, Yu Eu Bi) к (X2, Y2, E2, B2) (или Ф, и Ф2) -
126
решения, описывающие две стационарные аксиально-симметричные черные дырыи удовлетворяющие условиям регулярности (6.4.18) —(6.4.20). Тогда первый член в левой части (6.4.30) обращается в нуль тождественно, а второй — если проинтегрировать выражение (6.4.30) по внешней области X > С, -I < ju < 1 и учесть граничные условия (6.4.18) - (6.4.20). С другой стороны, можно показать [Мазур (1982, 1984) ], что выражение в правой части тождества (6.4.30) неотрицательно и, следовательно, оно обращается в нуль на решениях Фі и Ф2. Далее доказывается, что с учетом граничных условий (6.4.18) -(6.4.20) обращение в нуль правой части (6.4.30) влечет за собой равенство
Фі = Ф2, (6.4.32)
