Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
136
Введем следующие обозначения для электродинамических физических величин, измеряемых локально невращающимися наблюдателями: E — напряженность электрического поля, В — напряженность магнитного поля, Pe — плотность электрического заряда, j — плотность электрического тока.
Уравнения Максвелла записываются в следующем виде *):
VE = Anpe, (7.1.1)
VB = 0. (7.1.2)
4 эта/ 1
VX (аВ)= ------ + — [E+wLmE-(EVoj)m], (7.1.3)
с с
1 .
VX (аЕ) = - - [В + со?.тВ- (BV<o)m]. (7.1.4)
с
%
Здесь а =drjdt [см. (4.3.13)]; т - вектор, направленный вдоль коорди-
A1Ii
натных линий >р и имеющий длину----------sin в (это вектор Киллинга, от-
P
ражающий осевую симметрию пространства-времени; вдали от черной дыры он равен г sin Oe,); LmE - производная Ли от E (или В) вдоль вектора т:
LmE = (mV)E - (EV)m, (7.1.5)
описывающая изменение вектораE по отношению к полю вектора т (П. 7) (эта производная равна нулю, когда при смещении на т dtp начало и конец вектора E ’’приклеены” к векторам т d<p); со — угловая скорость обращения (по времени t) локально невращающихся наблюдателей [см.
(4.3.10)]. Точка означает дифференцирование по t\ V- оператор набла в искривленном ’’абсолютном” пространстве.
Уравнения (7.1.1)-(7.1.2) имеют обычный вид, в то время как уравнения (7.1.3)-(7.1.4) несколько отличаются от привычных. Отличия заключаются в следующем. Появилась функция а — из-за того, что физическое время течет по-разному в разных точках пространства, а уравнения написаны в терминах глобального ’’времени” t (напомним, что ускорение F свободного падения в системе отсчета локально невращающихся наблюдателей связано с а соотношением F = -C2Vlna) . Далее, выражения в квадратных скобках (7.1.3) и (7.1.4) есть производные (по времени) ’’типа Ли” для совокупности локально невращающихся наблюдателей, которые движутся в абсолютном пространстве и для которых dxjdt = сот. Таким образом, эти выражения соответствуют полным производным по времени от соответственно EkBc учетом движения локально невращающихся наблюдателей.
Уравнения электродинамики становятся особенно наглядными и удобными для анализа конкретных задач, когда они записаны в интегральной форме [см., например, Пикельнер (1961*)]. Мы приведем здесь одно из таких интегральных выражений (оно потребуется в дальнейшем) для внеш-
*) Имея в виду применимость электродинамических формул этой главы в астрофизике, мы выписываем их в обычной системе единиц, используя с.
137
него пространства черной дыры: это — закон Фарадея
/IN Id
/ а\Е +.— V X Д Id/ =---------/ Bd-E. (7.1.6)
эл*(г) \ с / с dt A*(t)
—*
Здесь dY, — вектор элемента поверхности, равный по длине его площади; А*(?) - двумерная поверхность, не пересекающая горизонт и ограниченная кривой &4*(0; dl — элемент ЬА* (t) \ v — физическая скорость А *(/) или BA* (?) относительно локально невращающихся наблюдателей.
§ 7.2. Стационарная электродинамика с осевой симметрией.
Бессиловое поле
Вращающаяся черная дыра и пространство вне ее стационарны и обладают осевой симметрией. Во многих астрофизических задачах движение вещества вокруг черной дыры также с хорошей точностью можно считать стационарным и осесимметричным. Естественно предполагать, что и электромагнитное поле будет таким же.
Мы считаем в этом параграфе перечисленные условия выполненными *). Тогда производные по времени t и производные ?т от векторов исчезают. В частности, в квадратных скобках (7.1.3) и (7.1.4) остаются только последние слагаемые.
Оказывается, что при условии стационарности и осевой симметрии непосредственно измеряемые значения Е, В, ре, j выражаются через три произвольные скалярные функции, которые могут быть выбраны следующим образом.
Пусть ЭА* — замкнутая координатная линия с постоянными г и в в ’’абсолютном” 3-пространстве, а А* — двумерная поверхность, не пересекающая черную дыру и ограниченная ЬА *.
Тогда указанные функции:
1) полный ток внутри петли ЬА * (взятый с обратным знаком)
/ — - / OifdX, (7.2.1)
а *
где dt, — вектор элемента поверхности (он считается если ориентирован в направлении я, 0 координаты в);
2) полный магнитный поток через ЬА *
ф= SBdl-
А •
3) электрический потенциал
Jl0 =—аФ — CjJ Am, (7.2.3)
где Ф - скалярный, а А — векторный потенциалы (определение т мы уже дали).
положительным,
(7.2.2)
*) Случай нестационарного поля см., например, Макдональд, Сюэн (1985), Торн (1986).
Величины / иФ зависят только от выбора положения петли дА * и не зависят от формы А* *).
Прежде чем выразить EnB через функции I, Ф, A0, разделим поля на полоидальные (индекс Р) и тороидальные (индекс T) компоненты, соответственно перпендикулярные и параллельные вектору т:
_ / /lsin20 V1
Et= \-—Г-) ІЕт)т, (7.2.4)
/ A sin2 0 \
В ^ J V
Ep=E-Et, (7.2.6)
Bp=B-Bt. (7.2.7)
Из закона Фарадея (7.1.6) и условия стационарности следует Et = 0. (7.2.8)
Из уравнения (7.1.2) и условия осесимметричности В (что дает LmB = 0)
получаем
