Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В принципе не исключен случай, когда в стационарном пространстве-времени имеется несколько связных компонент Э 53(т) и соответственно несколько ’’неподвижных ’ черных дыр. Такое равновесие возможно только, если гравитационное притяжение скомпенсировано электромагнитным отталкиванием (или отталкиванием силами другой природы). В частности, если имеется несколько заряженных черных дыр, обладающих массами Ifii и зарядамй Qi, удовлетворяющими соотношению Uil = Qi\/С, то система таких черных дыр будет находиться в равновесии [Хартль, Хокинг (1972), Охта, Кимура (1982)].
В дальнейшем мы будем рассматривать тот случай, когда имеется лишь одна стационарная черная дыра, и ограничим рассмотрение областью пространства-времени, лежащей вне этой черной дыры. В общем случае полное пространство-время стационарной черной дыры наряду с горизонтом событий H* может содержать также горизонт событий прошлого Н~ =J+(Cf)
8. И.Д. Новиков
113
(в этом нетрудно убедиться на примере шварцшильдовской черной дыры, диаграмма Пенроуза которой для полного пространства-времени приведена на рис. 50с). Область J*(Cf') HJ-(J+) пространства-времени, лежащая вне Я" и H+ , называется внешней. Для событий, происходящих во внешней области, характерно то свойство, что найдутся причинные кривые, связывающие их как с.7”, так и с Cf *. Можно доказать [см., например, Хокинг, Эллис (1973)], что в стационарном пространстве векторное поле Киллинга ? отлично от нуля во всей внешняі области и на части H+ П J +(CD горизонта событий.
Для более детального описания свойств стационарных пространств удобно ввести в рассмотрение следующий дифференциальный инвариант со“, связанный с векторным полем Киллинга ?м соотношением
<•>“ = «м; A^vka, (6.2.3)
где е^рХа — полностью антисимметричный тензор. Стационарное пространство называют статческим, если =0. Обращение в нуль, согласно теореме Фробениуса, является необходимым и достаточным условием того, что векторное поле ?м ортогонально некоторой поверхности. Иными словами, если =0, то найдутся две скалярные функции а и t такие, что выполняется равенство
(6.2.4)
В области, где ?м Ф 0, можно использовать t в качестве одной из координат (временной координаты), дополнив ее тремя другими X1. Удобно выбрать координаты X1 следующим образом. Зафиксируем произвольную поверхность t = const, введем на ней координаты х‘ и распространим их на все пространство, потребовав, чтобы они были постоянными вдоль интегральных кривых ?м. Метрика статического пространства в подобных координатах имеет вид
ds2 = —V2dt2 + htjdxldx>'. (6.2.5)
Используя уравнение Киллинга (6.2.1), нетрудно убедиться, что Э,/г|у- =0, а координатный произвол t -+t' =f(t) можно использовать, чтобы добиться выполнения следующих соотношений:
= Э,к=0, ?M0M = 0f. (6.2.6)
Оставшийся после этого произвол в выборе координат отвечает преобразованиям
t-*t'=t+t0, X1 -* х'1 =f‘(x’). (6.2.7)
Заметим, что поскольку V и hy не зависят от t, то метрика (6.2.5) оказывается инвариантной также относительно преобразования t -*—t. Верно и обратное, а именно, всякая стационарная метрика, допускающая дополнительную симметрию обращения времени t -*—t, является статической.
Важным свойством статических черных дыр является то, что во всей их внешней области векторное поле Киллинга времениподобно, а на части горизонта событий H+ П J + С/~ ), ограничивающей внешнюю область, отлично от нуля, светоподобно и направлено вдоль образующих Н*. Последнее свойство легко доказать следующим образом. Используя равенство
114
?[щк?а] = 0> вытекающее из условия иза = 0, и соотношение (6.2.1), имеем
и, следовательно, поверхность V2 = 0 является световой, так как нормаль к ней ((F2). м) совпадает на ней по направлению со световым вектором ?м. Поскольку (V2). м и параллельны, то
и, следовательно, ?м — касательный вектор к световой геодезической (образующей поверхности V2 =0). Эти световые геодезические не выходят на Cf +, поскольку все время находятся на поверхности, где ?м ?м = 0, в то время как у Cf * = —1. С другой стороны, расходимость световых
образующих поверхности F = O равна нулю. Это означает, что такая поверхность является внешней ловушечной поверхностью, а поскольку пространство-время стационарно, то одновременно она является горизонтом событий [Вишвешвара (1968)].
Если стационарная черная дыра не является статической, то векторное поле Киллинга ?м неизбежно становится пространственно поflq6HbiM в некоторой части внешней области [Хокинг, Эллис (1973)]. Эта область, где X2 > 0, получила название эргосферы.
Возникновение эргосферы вне нестатической стационарной черной дыры приводит к ряду важных физических следствий. Более подробно эти следствия обсуждаются в последующих главах. Сейчас мы остановимся лишь на одном из них. Напомним, что, согласно теореме Нетер, симметриям пространства-времени отвечают законы сохранения определенных физических вег личин. В частности, однородности во времени отвечает закон сохранения энергии. Для частицы, движущейся в стационарном пространстве-времени с векторным полем Киллинга ?м, эта сохраняющаяся величина (энергия) є записывается следующим образом*) :
