Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1976), Героч и др. (1982), Типлер и др. (1980)].
107
После данных разъяснений вернемся к обсуждению проблемы о неизбежности возникновения сингулярности внутри ловушечных поверхностей. Соответствующая теорема, доказанная Пенроузом (1965а), гласит:
Пусть выполнено слабое энергетическое условие и в пространстве-времени, допускающем некомпактную поверхность Коши ?, имеется ло-вушечная поверхность S. Тогда такое пространство-время не может быть полным относительно световых геодезических. Иными словами, в таком пространстве найдется по крайней мере один световой луч, который нельзя продолжить и который обрывается при конечном значении аффинного параметра. А значит, имеется сингулярность согласно данному выше определению.
Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Рассматривается множество J+(S) точек, которые соединимы с S причинной кривой, направленной в прошлое (рис. 63). Локальный анализ показывает, что. там, где граница dJ*(S) этого множества несингулярна, она светоподобна и образована отрезками световых геодезических, ортогонально пересекающих S в своих начальных точках. Если световые образующие ЭJ+(S) имеют конечные точки, то эти точки совпадают с особенностями ЭJ+(S) (каустиками или пересечениями). Далее, используя слабое энергетическое условие и сходимость образующих ЭJ+(S) на поверхности S, можно доказать, что каждый из световых лучей, испущенных ортогонально S, обязательно выходит на,каустику, причем это происходит при значении аффинного параметра, не превосходящем Pg , где ps — максимальное значение р на S для обоих семейств выходящих лучей. (Существование ps гарантируется гладкостью и компактностью поверхности S.) Отсюда следует, что граница ЭJ+(S) компактна, поскольку она образована компактной системой конечных замкнутых отрезков. Можно доказать, что ЭJ+(S) является трехмерным многообразием без края. Заметим, что при доказательстве компактности ЭJ+(S) существенно использовалось предположение, что пространство-время является полным относительно световых геодезических, так что не происходит обрыва образующих ЭJ+(S) до выхода на каустику или точку пересечения.
Следующий этап доказательства состоит в установлении противоречия компактности ЭJ+(S) и некомпактности поверхности Коши 2,, после чего становится очевидном, что сделанное предположение о полноте пространства-времени несовместно с остальными условиями теоремы.
108
Искомое противоречие устанавливается следующим образом. Можно показать, что в пространстве-времени с поверхностью Коши существует конгруэнция времениподобных кривых. Поскольку через каждую точку пространства проходит одна и только одна кривая конгруэнции и времени-подобная кривая не может пересечь световую поверхность ЭJ+(S) более одного раза, то с помощью этой конгруэнции можно установить взаимно однозначное непрерывное соответствие между ЭJ+(S) и некоторым замкнутым подмножеством 2' поверхности 2. 2' не может совпасть с 2, поскольку, по предположению, 2 некомпактна. Следовательно, 2' имеет границу в 2, но это противоречит тому, что ЭJ+(S) — многообразие без края. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы Пенроуза
о сингулярности.
Следует подчеркнуть, что условие некомпактности поверхности Коши
2 использовалось лишь при доказательстве того, что 2' не совпадает с 2. Вместо этого можно было бы потребовать, что хотя бы одна времениподоб-ная линия из конгруэнции не пересекала бы ЭJ+(S).
Мы приведем здесь формулировку еще одной теоремы о сингулярностях (которая в определенном смысле является самой сильной из набора теорем такого рода), отсылая читателя, интересующегося точными формулировками, к работам Пенроуза (1968,1979), Хокинга, Эллиса (1973), Мизнера, Торна, Уилера (1973) , Уолда (1984), Типлера и др. (1980).
Теорема Хокинга-Пенроуза [Хокинг, Пенроуз (1970)]. Пространство-время M с необходимостью содержит неполные времениподобные или световые геодезические, которые невозможно продолжить, если выполнены следующие условия: 1) в пространстве-времени отсутствуют замкнутые времениподобные кривые; 2) для произвольного единичного времени-подобного вектора иц выполняется неравенство RfivUtlUv > 0; 3) для каждой времениподобной или световой геодезической с касательным вектором Uu существует точка, В которой Ы[а^0]7б [еМр]Ы7И6 Ф 0; 4) существует ловушечная поверхность.
Все эти условия представляются достаточно разумными и общими. Требование 1 отвечает нашему обычному представлению о причинности*). Условие 2 означает, что в любой физической системе отсчета плотность энергии є неотрицательна и є + Зр> 0. Требование 3 эквивалентно тому, что рассматривается пространство-время общего вида, не обладающее какими-либо специальными симметриями. Условие 4, как уже отмечалось, тесным образом связано с существованием черной дыры. Теорема Пенроуза— Хокинга гарантирует возникновение сингулярности и в том случае, когда ловушечная поверхность возникает, например, в замкнутой Вселенной, где некомпактная поверхность Коши отсутствует, и поэтому теорема Пенроуза неприменима.
