Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где рм — 4-импульс частицы. Поскольку рм — направленный в будущее времениподрбный или световой вектор, то для частиц вне эргосферы є > 0. Однако для частиц или лучей света, находящихся в эргосфере, возможно выполнение обратного неравенства є < 0. Такие частицы, очевидно, могут покинуть эргосферу, только провалившись внутрь черной дыры. Это возможно лишь в том случае, если эргосфера пересекает горизонт событий.
Наличие состояний с отрицательной энергией є в эргосфере делает^воз-можным следующий механизм извлечения энергии из стационарных нестатических черных дыр, предложенный Пенроузом (1969). Представим себе
*)Сохранение с (p"ev= 0) вытекает из соотношенияP ve>v= pvp м. „?м + 1>цРи{ц. геодезичности движения’ PVi. 0 = 0и уравнения Киллинга (6.2.1).
С помощью этого равенства нетрудно убедиться, что
(6.2.8)
(6.2.9)
1
(F2)’" = ^1% = K*"
2
(6.2.10)
(6.2.11)
R *
115
(рис. 64), что частица с импульсом Pq , попав в эргосферу, распадается там на пару частиц с импульсами pf и р? (Po = pf + Р?), так что є2 = ~—Ръ%ц< 0, а частица с импульсом pf вылетает обратно. Тогда энергия вылетающей частицы є, = -pf = є0 - е2 будет больше энергии падающей частицы е0 = —Po ?м> чт0 и означает возможность извлечения энергии в этом процессе.
Существенное отличие свойств черных дыр С COm = О И COm Ф О связано с тем, что нестатические стационарные черные дыры в известном смысле
¦
Ci
Рис. 64. Процесс Пенроуза. Тело, падающее с некоторого расстояния (положение А), влетает в эргосферу вращающейся черной дыры и, взрываясь, распадается в точке В около поверхности черной дыры на две части, одна из которых поглощается черной дырой — точка D (параметры ’’взрыва” выбраны так, что энергая этой части отрицательна). Другая часть вылетает из эргосферы (точка С), обладая энергией, большей, чем энергия падающего тела
обладают вращением. Появление отрицательных энергий при движении частиц в поле вращающейся черной дыры можно объяснить, если принять во внимание дополнительное гравитационное взаимодействие углового момента Этой частицы с угловым моментом вращающейся черной дыры. Энергия, сообщаемая вылетающей в процессе Пенроуза частице, черпается из энергии вращения черной дыры.
После этих замечаний возвратимся к обсуждению общих свойств стационарных черных дыр и рассмотрим вопрос о взаимном расположении эргосферы и горизонта событий. В принципе возможна ситуация, когда эргосфера не пересекается с горизонтом и целиком лежит вне его. Однако, по-видимому, эта ситуация неустойчива [ Хокинг, Эллис (1973)]. Поэтому мы сделаем предположение, что в стационарном пространств е-вре-мени, описывающем конечное состояние черной дыры, эргосфера пересекает горизонт. Это означает, что на горизонте событий имеются точки, где векторное поле Киллинга ?м пространственно подобно. Покажем, что в этом случае черная дыра обязательно является аксиально-симметричной.
Пусть S0 — поверхность черной дыры в некоторый момент времени. Как указывалось выше, для стационарной черной дыры S0 имеет топологию двумерной сферы S2. Обозначим через Sv сечения горизонта событий,
116
возникающие путем сдвига точек S0 вдоль интегральных кривых хц (и) поля ?м (dx^/dv = ?м) на величину, отвечающую параметру и (рис. 65). Пусть точка р0 Є S0 при этом переходит в точку р* Є Sv. Обозначим через P1v точку пересечения образующей горизонта событий, проходящей через р0, с Sv. Поскольку /м и ?м непараллельны, то отображение pv ->р^ является нетривиальным преобразованием Sv в себя. Обращение в нуль сходимости р и сдвига а на горизонте событий стационарной черной дыры приводит к тому, что расстояние между любой парой точек p'v и qlv на Sv совпадает с расстоянием между отвечающими им точками р0 и q0 на S0-С другой стороны, поскольку ?м — векторное поле Киллинга, то это расстояние совпадает также с расстоянием между pv nqv. Тем самым преобразование р(, -*pjj является преобразованием симметрии, переводящим поверхность Sv в себя. Поскольку Sv имеет топологию сферы S2, то под действием описанной группы изометрий все ее точки, за исключением двух (’’полюсов”), движутся, причем их орбиты - замкнутые окружности. Иными словами, поверхность стационарной нестатической черной дыры аксиально-симметрична. Если метрика, описывающая стационарую черную дыру, является аналитической*), то из аксиальной симметрии горизонта событий вытекает аксиальная симметрия всего пространства-времени. Этот результат составляет содержание следующей теоремы, доказанной Хокингом (1972а).
Пусть эргосфера в стационарном нестатическом пространстве имеет пересечение с горизонтом событий H* П J*(CT). Тогда существует однопараметрическая циклическая группа изометрий, генераторы которой коммутируют с ?м и орбиты которой пространственноподобны вблизи
Эта теорема справедлива и в тех случаях, когда метрика неаналитична в изолированных областях вне горизонта.
В заключение параграфа подведем краткий итог. Итак, конечное состояние одиночной черной дыры описывается стационарной метрикой. При этом либо черная дыра не вращается и эта метрика статична, либо она вращается, тогда пространство-время обладает дополнительной аксиальной симмет-
