Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
которое означает, что существует только одно решение уравнений поля в теории (6.4.15), (6.4.22), удовлетворяющее заданным граничным условиям. Тем самым доказывается, что всякая стационарная аксиально-симметричная черная дыра однозначно определяется заданием значений четырех произвольных параметров: С, JlQuP.
Для завершения доказательства заметим, что следующее стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла (решение Керра — Ньюмена) (в (6.4.33) A= г2 —2Mr+ a2 +Q2 +P2)
А
ds2 =------(dt - a sin20 d$)2 +
P2
sin26 , , , -,(^2 Л
+ ------{adt - (г2 +a2)d<fi]2 + р21— +dd2), (6.4.33)
р2 \ А /
Apdxfi = -р~2 {Qr (dt — a sin2в d*p) +
+ PcosQ [adt - (г2 +a2) d$]} (6.4.34)
удовлетворяет граничн тм условиям (6.4.18) —(6.4.20) и содержит четыре произвольных параметра: М, a, Qn P (связанные с параметрами / и С соотношениями J = Ma и C= (M2 - а2 - Q2 — P2) l^2).Следовательно, это решение является наиболее общим, описывающим уединенную стационарную аксиально-симметричную черную дыру в теории Эйнштейна — Максвелла. Обычно считают, что магнитный монопольный заряд у черной дыры отсутствует (Р = 0). В этом случае решение (6.4.33) -(6.4.34) переходит в решение (4.2.1), (4.8.1), (4.8.2).
Описанное доказательство теоремы единственности значительно упрощается в случае незаряженной черной дыры. Для перехода к этому случаю достаточно положить г} = E = B = On вместо матрицы (6.4.24) обозначить через Ф матрицу 2X2, получаемую из (6.4.24) вычеркиванием последней строки и последнего столбца. При этом тождество (6.4.30) переходит в тождество, найденное Робинсо.юм (1975) при доказательстве теоремы единственности для незаряженных стационарных аксиально-симметричных черных дыр.
Прежде чем перейти к рассмотрению ^возможности существования неэлектромагнитных ’’волос” у черных дыр, обсудим вопрос о глобальной структуре пространства-времени Керра — Ньюмена.
127
§ 6.5. Аналитическое продолжение метрики Керра — Ньюмена внутри горизонта событий
Стационарная метрика вращающейся незаряженной черной дыры вне горизонта событий рассмотрена нами в § 4.4. Там мы изложили причины, по которым метрика Керра, продолженная внутри горизонта событий, не может описывать пространство-время внутри черной дыры. Te же Самые соображения применимы, конечно, и к общему случаю заряженной вращающейся черной дыры, описываемой метрикой Керра — Ньюмена (см. §4.8)*).
В этом параграфе мы тем не менее рассмотрим формальное продолжение метрики Керра — Ньюмена внутри горизонта событий. Причины этого заключаются в следующем.
Во-первых, сама структура этого продолжения оказалась совершенно необычной. Ее изучение показало, насколько топологически сложным может быть полное пространство-время в общей теории относительности. На основе подобного полного решения были высказаны гипотезы о возможности путешествия из одного пространства в другое при наличии образований, подобных описываемому полным решением Керра — Ньюмена. Правда, после доказательства неустойчивости данного решения внутри горизонта событий вероятность какой-либо достоверности таких гипотез стала весьма проблематичной.
Во-вторых, для доказательства неустойчивости решения Керра — Ньюмена внутри черной дыры необходимо привести само решение, а затем и доказательство неустойчивости.
Свойства решения внутри горизонта событий рассматриваются ниже в этом параграфе, доказательство неустойчивости дается в гл. 12.
Полное пространство-время метрики Керра — Ньюмена исследуется в принципе так же, как и в метрике Шварцшильда. Дополнительная трудность здесь связана с отсутствием сферической симметрии. Мы считаем, что M2 > Q2 + а2, ибо только в этом случае решение описывает черную дыру. Прежде всего напомним (см. §§ 4.3, 4.4 и 4.8), что горизонт событий в координатах (4.2.1), (4.8.1) находится при г = r+ = M + (M2 -а2 -Q2) .
Метрика (4'2.1) имеет здесь сингулярность, однако сингулярность эта — координатная, что выясняется переходом к координатам Pfeppa (4.4.2); в случае, заряженной черной дыры в выражение для А входит Q2 [см.
(4.8.1) ]. Все инварианты кривизны при г =г+ конечны, и пространство-вре-мя не имеет особенностей.
При исследовании метрики внутри черной дыры (г < г+) мы должны помнить, что координаты t, г>, в, <р вовсе не обязаны иметь простой смысл временной и сферических пространственных координат, какой они имели на бесконечности во внешнем пространстве. С подобным обстоятельством мы уже сталкивались при исследовании метрики Шварцшильда (см. § 2.4), где, например, переменная г при г < rg становилась временной координатой. В метрике Керра — Ньюмена физический смысл координат еще более
* * Хотя в данном параграфе мы полагаем, что у черной дыры отсутствует магнитный заряд, все изложенные в нем результаты легко распространяются на случай, когда этот заряд отличен от нуля.
128
Рис. 66. Качественная структура сечения t = const, <р = const вблизи г = О
Рис. 67. Диаграмма Пенроуза для полного пространства-времени Керра - Ньюмена
