Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если выполнены уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла, то функция р является гармонической:
Эх(V^УХ?дуР) = 0. (6.4.8)
VT
Поскольку всякая двумерная метрика является конформно-плоской,.то dy2 можно записать в виде
dy2 = U(x', х2) \{dx1 )2 + {dx2 )2 ]. (6.4.9)
Удобнее, однако, для описания свойств метрики в окрестности горизонта ввести координаты X и ju, которые в асимптотически удаленной области связаны со стандартными сферическими координатами г к в
і 22
соотношениями
\^г-М, ju « cos в. (6.4.10)
Здесь M — измеряемая асимптотически удаленным наблюдателем масса черной дыры, а метрика dy2 в этих координатах имеет вид
dy2 =U(\,n)dyi, (6.4.11а)
d\ dy2
X2 - C2 + ~ц2
dy'cз- + :-7 • (6.4. Ilb)
Картер (1971) показал, что координаты /, X, ju, ір покрывают всю внешнюю область стационарной черной дыры (за исключением оси вращения, где эти координаты имеют очевидную особенность). При этомлр периодична (с периодом 2п), / изменяется от —00 до +°°, ju пробегает значения от
— 1 до +1 (граничные значения достигаются на ’’северной” и ’’южной” полярных осях), а X > С> 0 (значению X = C отвечает горизонт событий, и Xдля асимптотически удаленных точек). В этих координатах
P2 = VX + W2 = (X2 - С2)(1 - JU2), (6.4.12)
а электромагнитное поле Ffiv вне источников записывается следующим образом:
Fvfl = BvAfl-BflAv, A^dxu = Ф dt + В dip: (6.4.13)
величины V, X, W, U, Ф и В являются функциями от X и JU.
Перейдем теперь к изложению основных этапов доказательства теоремы единственности для аксиально-симметричных стационарных черных дыр. Они состоят в следующем;
1) Используя метод, развитый Эрнстом (1968а, Ь) [см. также Крамер и др. (1980)], можно свести нахождение решения уравнения Эйнштейна -Максвелла к задаче решения системы двух эллиптических уравнений второго порядка для двух комплексных функций от переменных X и ju (потенциалов Эрнста). При этом оказывается, что полученные уравнения совпадают с уравнениями движения для определенного лагранжиана.
2) Анализируются условия на коэффициенты метрики (6.4.6), (6.4.11) и компоненты электромагнитного поля (6.4.13), вытекающие из требования регулярности пространства-времени в окрестности горизонта событий и на оси вращения, а также из 'предположения о том, что пространство является асимптотически плоским. Эти условия затем переформулируются эквивалентным образом в виде граничных условий для потенциалов Эрнста в особых точках X = C, X = °°, I ju I = 1.
3) Используя свойства инвариантности введенного для рассматриваемой задачи лагранжиана, получают дифференциальное условие, связывающее произвольные два решения. С помощью этого условия доказывается, что любые два решения, удовлетворяющие найденным граничным условиям с фиксированным значением входящих в них произвольных постоянных, совпадают.-
4) Показывается, что известное решение Керра — Ньюмена, описывающее заряженную вращающуюся черную дыру, удовлетворяет указанным граничным условиям и содержит нужное число произвольных постоянных. Тем самым устанавливается, что этим семейством решений исчерпываются
123
все решения, описывающие стационарные аксиально-симметричные черные дыры.
Исходным пунктом при реализации описанной выше программы является следующее замечание. Пусть известны функции X, W, Фи В, отвечающие некоторому аксиально-симметричному стационарному асимптотически плоскому решению уравнений Эйнштейна — Максвелла. Тогда функция V для этого решения определяется из соотношения (6.4.12), а функция U может быть однозначно определена путем решения уравнения, вытекающего из полной системы Эйнштейна — Максвелла [Крамер и др. (1980) ].
Перейдем от переменных Ф, W к новым переменным Е, Y с помощью следующих соотношений:
?-,м = (ЛГФЛ-И®х)/(1-/и2),
Ел = - (*Ф,М - Ш М)/(Х2 - C2), 4
Yyti = (XWtI, - -H2) + 2(BEttl - EBytl),
YyЛ = - (XWyti - WXyti)/(X2 - С2) + 2(ВЕуК - ЕВ,к).
Можно показать, что исходная система уравнений Эйнштейна — Максвелла обеспечивает выполнение условий совместности для этой системы и приводит к четырем нелинейным уравнениям в частных производных для четырех неизвестных функций (потенциалов Эрнста) X, Y, Е, В, которые могут быть получены варьированием следующего функционала ’’действия”:
S = ^yffodXdn ?, (6.4.15)
где ’’лагранжиан”
? = (2*2)'1 [(VZ)2 + [VY+2(EVB~BVE)]2] +2Х~' [(VE)2 +(VB)2].
(6.4.16)
Здесь все операции свертки и поднятия индексов осуществляются с помощью двумерной метрики dyl (6.4.lib). В отсутствие электромагнитного поля для получения решений вакуумных уравнений Эйнштейна достаточно положить E = B = 0; при этом ’’лагранжиан” ? принимает вид
(VX)2 +(VF)2
? = ----—І------- . (6.4.17)
2Х
Картер (1971, 1973а) показал, что граничные условия, однозначно определяющие решение X, Y, Е, В, вытекают из следующих предположений: а) пространство-время является асимптотически плоским; Ь) пространство-время регулярно везде во внешней области, в том числе и на оси симметрии; с) горизонт событий является регулярной поверхностью, т.е. на нем отсутствуют физические особенности. Эти предположения в нашем случае принимают вид:
