Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
*)0 свойствах аналитичности стационарных аксиально-симметричных асимптотически плоских решений уравнений Эйнштейна см. Мюллер цум Хаген (1970).
J+ И Т.-
Рис. 65, Стационарная вращающаяся черная дыра является аксиапьно-еимметрич-ной. Иллюстрация к доказательству теоремы Хокинга
117
рией. Следующие два параграфа посвящены доказательству так называемых теорем единственности, согласно которым как статические, так и нестатические стационарные черные дыры устроены относительно просто. А именно, будут рассмотрены стационарные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла и показано, что все такие решения, описывающие стационарную черную дыру, сводятся к метрике Керра—Ньюмена (6.4.33); при этом, если вращение отсутствует, соответствующее решение сводится к решению Рейсснера—Нордстрема. Обсуждение роли остальных физических полей и их ’’волос” мы отложим до последнего параграфа этой главы.
§ 6.3. Теорема единственности для статических черных дыр
Обсудим вопрос о статических решениях вакуумных уравнений Эйнштейна. Выберем координаты в статическом пространстве-времени так, как было указано выше, и запишем статическую метрику в форме (6.2.5):
ds2 = — V2dt + hq dx'dx',
г= 1,2,3; V = V(xl,x2,x3); hif = Иц(х1 ,х2 ,х3). (6'ЗЛ)
Обозначим через ^ Riу тензор Риччи трехмерного пространства Б, описываемого уравнением / = const и обладающего метрикой hy. Тогда вакуумные уравнения Эйнштейна эквивалентны следующим уравнениям:
HifV-U = O, (6.3.2а)
Vuj-^RijV=O. (6.3.2b)
Здесь ( ) ^обозначает ковариантную производную в метрике htj.
Предположим, что рассматриваемое пространство-время с метрикой
(6.3.1): 1) является асимптотически плоским, 2) обладает горизонтом событий и 3) не содержит сингулярностей, лежащих вне или на горизонте событий.
Более детально эти предположения означают следующее:
1) Пространство 2 является асимптотически евклидовым, т.е. существует такой выбор координат Xі, в которых
= + О (r1), 9*й„ = О (Г2), V= I-М/r+ V, (6,зз)
M= const, і? = 0(r~2), 9,-17=0(/-"3), 9,-9^17 = 0(/-'4)
при /- = (S^-X1Xy)1 /2
2) Функция V обращается в нуль на 2, причем множество V(x') = О является связной регулярной гладкой поверхностью.
Строго говоря, точки, где V = 0,не покрываются координатами t,xl, х2, X3, поскольку в этих координатах метрика (6.3.1) имеет особенность. Предположение о существовании регулярного горизонта событий означает, что имеется возможность с помощью перехода к новым координатам получить продолжение метрики на часть пространства-времени, содержащую горизонт событий. Поверхность F = O можно рассматривать как границу 2, возникающую в результате предельного перехода V = S= const при 5 -*+ 0.
Функция V удовлетворяет эллиптическому уравнению V i '1 = О и, следовательно, является гармонической. Поскольку при г V = 1, то при
118
конечных г вне горизонта она принимает положительные значения, меньшие 1 [о соответствующем свойстве гармонических функций см., например, Яно.Бохнер (1953)].
3) Всюду на І (при 0 < V < 1) инвариант (R2 = RapybR aliyS, построенный из четырехмерного тензора кривизны, конечен.
Теорема единственности для статических черных дыр в пустоте гласит:
Всякое статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна, удовлетворяющее условиям 1-3, является сферически-симметричным и совпадает с метрикой Шварцшильда.
Эта теорема при дополнительном условии: 4) эквипотенциальные поверхности V = const > 0 являются регулярными односвязными двумерными замкнутыми поверхностями, была доказана Израэлем (1967). Позднее [см. Мюллер цум Хаген и др. (1973), Робинсон (1977)] было доказано, что это условие, означающее, в частности, что Va Ф 0 всюду при 0 < V < 1, вытекает из условий 1 —3.
Основные этапы доказательства теоремы Израэля состоят в следующем. Выбирают функцию V (V01 Ф 0) в качестве координаты. Оставшиеся две координаты в2 и в3 на поверхностях V = const выбирают так, чтобы координатные линии V ортогонально пересекали поверхности V = const. В этих координатах метрика (6.3.1) записывается в виде
где X, Y = 2, 3, р и Ьху являются функциями V, в2, O3, а уравнение (6.3.2а) принимает вид
Определим двумерный тензор внешней кривизны К\у поверхности V = = const соотношением
Для следа этого тензора К = ЬхуКХу можно получить выражение К = = р'1 Э(In \fb)jbV, которое с учетом (6.3.5) дает
Можно показать, что уравнение (6.3.2Ь) эквивалентно выполнению следующих равенств:
ds2 =- V2dt2 +p2dV + bXyd6xdeY,
(6.3.4)
(6.3.5)
(6.3.10) const, a ( ) і х 119
(6.3.8)
(6.3.9)
означает ковариантную производную в метрике Ьху¦ Уравнения (6.3.5),
(6.3.6) и (6.3.8) позволяют определить зависимость от V неизвестных функций р, Ьху и KXY, а (6.3.9) и (6.3.10) играют роль связей: если они выполняются при одном значении V, то, в силу остальных уравнений, выполняются при всех V.
Следующий этап состоит в нахождении условий, которые налагает на неизвестные функции предположение 3. С этой целью запишем инвариант
<R2 = Ra(3ys R a^y5 в обозначениях p,bXY и Kx у:
