Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 аг = (v....yXY , 2PlA-P1*
о A2 =(Vp)-2 \КХУКЛІ +----------------- +K2J. (6.3.11)
Из уравнения (6.3.5) следует, что \fb = с(ху)р, и поэтому из регулярности поверхности K=O следует, что p(V = 0, в2, в3) Ф 0, а из регулярности (R2 при V = O находим
KXY(V = 0, в2, в3) = 0, p(V= 0, в2, в3) = P0 =const,
Iim (K/V)=—p0 (2)Я(К = 0, в2, в3). (6.3.12)
V - о 2
Если обозначить через A0 = / Vb і1в2йв3 площадь поверхности черной
K=O
дыры, то, интегрируя (6.3.5) по К от 0 до 1, с учетом граничных условий
(6.3.3) и (6.3.12) имеем
Ao = ЛттМро ¦ (6.3.13)
Отсюда вытекает, в частности, что M всегда положительно.
С помощью уравнений (6.3.5) и (6.3.7)-(6.3.9) можно получить следующие соотношения:
(6.3.14)
— (*К+-)] = -\/ЬК[(2>д(1пP)+P-2(P\XP]X+2^XY^XY)+(2)R],
Р (6.3.15)
где (2)д = ( )|^' И Фл-у = I^y KbxY^P-
Последний этап доказательства состоит в интегрировании соотношений
(6.3.14) и (6.3.15) по К от 0 до 1. Если учесть граничные условия (6.3.3) и
(6.3.12) и использовать тождество
/ (2)AfVbde2de3 =0, (6.3.16)
V - const
справедливое для произвольной функции /, и теорему Гаусса — Бонне: / {2)Rs/bde2dd3 =8тг, (6.3.17)
V = const
то получаем неравенства
р0>4М, A0>TtPo, (6.3.18)
120
причем равенства имеют место тогда и только тогда, когда везде на ?
*XY = 0, P1a- = O. (6.3.19)
Сравнивая (6.3.18) с (6.3.13), нетрудно убедиться, что эти соотношения не противоречат друг другу только в том случае, если в (6.3.18) всюду стоят знаки равенства, а следовательно, выполнены соотношения (6.3.19). Эти соотношения показывают, что рассматриваемое вакуумное решение уравнений Эйнштейна является сферически-симметричным, т.е. в соответствии с теоремой Биркгофа (1923) совпадает с решением Шварцшильда.
Аналогичная теорема единственности имеет место в случае, если отказаться от условия выполнения вакуумных уравнеьий Эйнштейна, заменив их системой уравнений Эйнштейна — Максвелла. 1 этой ситуации черная дыра может обладать зарядом, соответствующее единственное решение сферически-симметрично и совпадает с метрикой Рейсснера — Нордстрема [Израэль (1968) ].
§ 6.4. Теорема единственности для стационарных аксиально-симметричных черных дыр
Перейдем теперь к обсуждению свойств решений уравнений Эйнштейна — Максвелла, описывающих стационарные аксиально-симметричные черные дыры. В подобных пространствах наряду с векторным полем Киллинга
?(мг), нормированным на бесконечности условием ' ?(г)м * — 1. имеется также пространственноподобное векторное поле Киллинга , отвечающее симметрии пространства относительно вращения. Это поле коммутирует с и обладает замкнутыми интегральными кривыми. Поле отлично от нуля всюду во внешней области и на горизонте, кроме оси вращения, на которой =0. Если обозначить X = то условие
регулярности (локальной евклидовости) пространства-времени на оси вращения выполняется, когда
X 'aX а
------=1. (6.4.1)
Векторные поля t([) и ?(^) с описанными выше свойствами, включая условие нормировки (6.4.1), определены в стационарном аксиально-симметричном асимптотически плоском пространстве однозначно.
В таком пространстве можно ввести координаты /, \р, хх {X = 1, 2) так, что выполняются соотношения
ds2 = — V dt2 + 2Wd<pdt + X dy2 + 2gQXdxxdt +
+ dxxdip+ yXYdxxdxY, (6.4.2)
где
*(,)=5“ 4> = C <6-4-3>
121
а функции V, X, W,goX,gy х и Ixy не зависят от t и у. Говорят, что метрика (6.4.2) удовлетворяет условию циркулярности, если за счет координатных преобразований, сохраняющих форму (6.4.2), можно добиться обращения В нуль коэффициентов gox И g^x- В этом случае двумерные поверхности / = const и ір =Const являются ортогональными двумерным поверхностям, образованным интегральными кривыми полей и ?(^). Необходимым и достаточным условием для циркулярное™ метрики является выполнение следующих соотношений [см., например, Крамер и др. (1980)]:
Єа/3у5%(0)а%(ОіЗ%(1)7;5 'О, еа®у&?(Г)а?(*>)/з?(*>)7 ;в = 0- (6.4.4)
Можно показать [Кундт, Трюмпер (1966), Картер (1973а) ], что эти соотношения имеют место тогда и только тогда, когда тензор Риччи Ra^ удовлетворяет условиям
?(г)Л6[а?(Г)/з?ы7) =0’ ?(*)Л6[а?(*)/з?(Г)7] = °- (6.4.5)
Очевидно, что для вакуумных решений уравнений Эйнштейна эти условия выполняются. Нетрудно убедиться, что они также справедливы и вне источников в электровакуумных пространствах [Картер (1969)]. Таким образом, в интересующем нас случае (стационарные аксиально-симметричные решения уравнений Эйнштейна - Максвелла) условие циркулярности выполнено и элемент длины (6.4.2) допускает следующее представление:
ds2 =- Vdt2 + 2Wdipdt + Xd*p2 +dy2, (6.4.6)
где
dy2 = ух Y(x z)dxxdx Y.
Картер (1969) показал, что если выполняется условие причинности (отсутствуют замкнутые времениподобные линии), то величины
р2 = VX +W2 (6.4.7)
и X положительны во всей внешней области, за исключением оси вращения, где X = W = 0, и горизонта событий, ограничивающего внешнюю область, где р2 обращается в нуль. Для статической черной дыры IV=O1H уравнение горизонта событий принимает вид V=O.
