Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для решения многих вопросов, связанных с распространением сигналов в поле черных дыр, оказывается достаточным проследить за поведением выходящего излучения. Поэтому оказывается удобным следующее определение: внешней ловушечной поверхностью называют компактную ориентируемую пространственноподобную поверхность, обладающую тем свойством, что расходимость выходящих ортогонально к ней световых геодезических неотрицательна (р > 0). Это определение подразумевает, что имеется возможность инвариантным образом определить, какое из двух семейств ортогональных поверхности S световых лучей является выходящим.
Пусть рассматриваемая ловушечная поверхность S возникает в результате эволюции системы, начальные данные для которой заданы на поверхности Коши ? (рис. 60). Предположим для простоты, что 2 имеет топологию R3. Рассмотрим произвольную конгруэнцию гладких времениподобных линий (существование таких конгруэнций можно гарантировать по крайней мере в области Коши будущего D+(X) поверхности 2 *) [Хокинг, Эллис
ни, которые являются разумными с точки зрения физики и играют важную ’’техническую” роль при доказательстве теорем, позволяя не рассматривать различные ’’патологические” возможности. Такого рода предположения обычно подробно перечисляются при обсуждении соответствующих теорем [см. Хокинг, Эллис (1973) ]. Мы старались по возможности ограничить использование многочисленных терминов, применяемых для обозначения этих свойств. Отметим здесь лишь, что частичная поверхность Коши - это такая пространственноподобная поверхность, которую каждая причинная кривая пересекает не более одного раза. Пространством с асимптотически сильно предсказуемым будущим называют пространство, в котором имеется такая частичная поверхность Коши, что задание на ней начальных данных позволяет делать предсказания не только о ’’внешности” черной дыры, HO и о некоторой окрестности горизонта событий. Мы используем также понятие регулярно предсказуемого пространства. Таким называют пространство, если его будущее асимптЪтически сильно предсказуемо, а соответствующая частичная поверхность Коши ? обладает свойствами: 1) пересечение Sc J'(Cf ) содержится в J*(?f~) и гомеоморфно R3 с вырезанным из него открытым множеством с компактным замыканием и 2) поверхность S односвязна.
Область/) (2) Коши будущего множества X определяется как множество всех таких точек р, для которых каждая непродолжимая в прошлое причинная кривая, проходящая через р, пересекает 2.
103
Рис, 60. Иллюстрация к определению внешней ловушечной поверхности
(1973)]. Отдельные кривые конгруэнции можно рассматривать как мировые линии локальных наблюдателей. Если проследить в прошлое за линиями конгруэнции, проходящими через поверхность S, то точки пересечений этих линий с поверхностью Коши Ё, определяют на ней замкнутую ориентируемую поверхность S'. Для этой поверхности уже не представляет труда определить направление наружу. Например, можно рассмотреть любую гладкую кривую хи(Х), начинающуюся на S1 (хм(0) Є S') и выходящую на пространственную бесконечность. Тогда вектор Iju = dx^/d\ при X = O определяет направление наружу в точке Xtl(O) . Поскольку поверхность П, образованная линиями конгруэнции, проходящими через S, является ориентируемой, то задание в одной ее точке внешнего направления определяет внешнее направление в каждой из ее точек и, в частности, для точек исходной поверхности S. Подобное определение является инвариантным, и его можно обобщить на случай асимптотически предсказуемых пространств [Хокинг, Эллис (1973)].
Будем говорить, что точка р лежит в ловушечной области (сокращенно Г_-области) , если существует внешняя ловушечная поверхность, проходящая через эту точку. В важном частном случае сферически-симметричных пространств точка р принадлежит ловушечной области, если выполнено условие (Vr- Vr)p <0.
На рис. 61а показано расположение Т_-области для простейшего случая коллапса сферического облака пыли без какого-либо последующего падения вещества в черную дыру. Ввиду важности этого понятия то же пространство-время еще раз изображено на рис. 6 Ib в координатах Леметра. Внутри пылевого шара метрику можно записать в виде
при этом границе шара соответствует R=rg. Вне шара, в пустоте, метрика выглядит следующим образом:
ds2=— dr2+|—(г^—г) rg*l3(dR2 + R2doj2)-,
(5.5.1)
(5.5.2)
104
Граница Г_-области в веществе описывается уравнением
(5.5.3)
Эта граница пространственноподобна. Вне вещества, в вакууме, граница Т_ -области есть rg:
Эта граница светоподобна.
Внешнюю часть Э7}(г) связной компоненты 7}(г) пересечения лову-шечной области с пространственноподобной поверхностью т(х) = const называют горизонтом видимости. Горизонт видимости Э 7} (т) является двумерной поверхностью, для которой выходящие ортогональные световые геодезические имеют нулевую расходимость (р=0). При выполнении слабого энергетического условия горизонт видимости совпадает с горизонтом событий или лежит внутри него (рис. 62). В стационарных черных дырах горизонт видимости совпадает с горизонтом событий (это, в част-
