Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ъг
но, что все части тени одновременно достигают экрана, расположенного перпендикулярно пучку.
*) Вопрос о конгруэнциях световых геодезических в искривленном пространстве-времени подробно освещен, например, в обзорах Пирани (1964) и Фролова <1976*а), где приведены также соответствующие ссылки.
94
Размер, форма и ориентация изображения на экране определяются однозначно, если известны скалярные произведения HiXti • SiXij для произвольной пары векторов, соединяющих точку х? с точками попадания на экран световых лучей с параметрами у о +5/{ и у о + 5 у2: SfXfi = Bfti
=---- (г2 ,Уо )&yf ¦ Нетрудно убедиться в том, что при переходе в другую
Ъуа
систему отсчета U1J1 векторы SjXti преобразуются следующим образом: 5,- Xti =SiXti +OiIti, а значения скалярных произведений остаются неизменными:
SiXti-S2Xtl=SiXti-SiXll. (5.3.11)
Тем самым показано, что размер, форма и ориентация тени не зависят от скорости движения наблюдателя.
Поскольку характеристики изображения на экране не зависят от выбора наблюдателя, возьмем, для удобства, в качестве U2 вектор, получаемый из Uf параллельным переносом вдоль yti. Обозначим через результат такого переноса вектора тц. Поскольку при параллельном переносе сохраняется ортогональность тц векторам Iti и Uti, то т 2 и тЧ растягивают двумерную площадку экрана, ортогонального световому пучку в системе
Э/“(г, у о)
! отсчета Щ. Определим вектор ??(/¦) =---------Sya, соединяющий точку
Э уа
с аффинным параметром г луча у0 с точкой с тем же аффинным параметром на световом луче у с параметрами Vo + Sya. Используя выражение для
/ Э/“\ Э а/в 55/“
/“І Iа =— I и свойство симметрии---------- = —-— , имеем
\ Эг I дгду ду дг
/вГ?.в-Г?/*.в = /вГ?.в-Г?/*.в=о. (5-3.12)
Вектор ?“(Гг) = (f +5f)^2“ + (? +5f )т% отвечает точке попадания луча у на экран. Обозначим ?а(г) вектор, получаемый в точке г в результате параллельного переноса вектора f “ = f “(г i) = $та + f та вдоль у о '¦
IaSpta =0. (5.3.13)
Поскольку в начальной точке T1 векторы f “ и совпадают, то для малых расстояний Sr =г2 — г і экрана от объекта находим
tf =(8%+/“„«#¦)?“. (5.3.14)
Умножая обе части этого равенства на та и обозначая
p=-la.&mam&, O=-IatPmamP, (5.3.15)
получаем
5Г = -(РГ + of )8г. (5.3.16)
Таким образом, отображение
Г-»Г'=Г + 5Г = Г(1 -PSr)-! Sr (5.3.17)
устанавливает связь между формой предмета и формой тени.
95
Если в качестве предмета выбрать круг, граница которого f(0) = ехр(/б), то граница тени определяется соотношением
описывающим эллипс с полуосями а± = [I — (р +р T I о | )5 /• ], площадь которого равна па+а_ = 7г[1 — (р +р ) Sr], и, следовательно, фактор в = — Re р определяет увеличение линейного масштаба. Модуль сдвига | о \ определяет степень сжатия круга и выражается через я+/я_ =1 + 2 I о \ Ьг.
Величины р и I а|,не зависящие от выбора векторов та и характеризующие расширение и сдвиг конгруэнции световых лучей, получили название оптических скаляров. Следует подчеркнуть, что инвариантами являются величины р Ьг и а 6 г, ари о при изменении аффинного параметра преобразуются линейным образом. Нетрудно убедиться, что если рассматриваемая световая поверхность (х) =0 включена в семейство световых поверхностей *р (*) = с и I01 = даір, то
Следует подчеркнуть, ЧТО поскольку I01-Q = ip.а. J3 = Ipm а , то оптический скаляр р для конгруэнции световых лучей, образующих поверхность Г, является действительной величиной: р = р . Полученные выше соотношения завершают доказательство теоремы Элерса — Сакса.
Если обозначить площадь сечения узкого светового пучка через ЬА, то ее изменение описывается следующим уравнением, вытекающим из
(5.3.18) при р =р :
При р > 0 площадь сечения пучка при увеличении аффинного параметра убывает.
Поведение оптических скаляров р и о вдоль световых лучей описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Вывод этих уравнений основан на использовании тождества
(5.3.21)
Умножая обе части этого соотношения на выбирая для удобства
тц параллельно переносимым вдоль Iti, учитывая условие геодезичности ^ = о исоотношение Rv^lvI0 = 2Rvtia^Tа, получаем следующее уравнение:
?' = (1 — р 5/ОехрО‘б) — о Ьг ехр(— /б),
(5.3.18)
(5.3.19)
— (5Л)1/2 =-р(5Л)1/2.
(5.3.20)
-----= р2 +00 + Ф,
dr
(5.3.22)
do _
-----= о(р +р ) + Ф,
dr
(5.3.23)
где Ф - Са0т6/“т*3/7»?6; C0lPyb — тензор Вейля [см. (П. 4)] *).
*) Оптические скаляры р и а определяются соотношением (5.3.19) для произвольной световой геодезической конгруэнции; при этом соотношения (5.3.22) и (5.3.23)
96
Если предположить, что имеется пробный пучок, образованный световыми лучами, для которого в начальный момент выполнено условие р = о = 0, то часть кривизны Ф (при Ф = 0) действует как линза без астигматизма (а остается равным нулю), в то время как часть кривизны Ф (при Ф = 0) действует как чисто астигматическая линза (р остается равным нулю).
Соотношение (5 3.22) позволяет доказать следующее важное утверждение.
