Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема о фокусировании. Пусть Ф > 0 и в некоторой точке светового пучка г = г0 выполняется неравенство р = р0 > 0: тогда на конечном расстоянии г - г0 < Po1 от этой точки пучок света достигает фокальной точки и площадь его сечения обращается в нуль.
Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться следующим соотношением:
U2
— (5Л)'/2 =-(ао +Ф)(5Л)1/2, (5.3.24)
dr1
которое получается из (5.3.20) с помощью дифференцирования и уравнения (5.3.22). Поскольку правая часть этого соотношения неположительна, то при r>r0 d(8A)l/2/dr < - р0(ЬА)112(г = го) и, следовательно, (8А)1/2 обращается в нуль при значении параметра г , удовлетворяющем неравенству 0 < г - г о < Po1.
Если гравитационное поле описывается уравнениями Эйнштейна, то условие Ф>0 эквивалентно соотношению TfivI11Iv >0. Это условие выполняется, в частности, если тензор энергии-импульса, описывающий распределение вещества и полей, удовлетворяет слабому энергетическому условию (CM. Приложение), Т.е. ПЛОТНОСТЬ энергии TllvUtiUvB системе отсчета произвольного наблюдателя (UflUfl = — 1) неотрицательна. Для доказательства того, что Ф > 0 вытекает из слабого энергетического условия, достаточно рассмотреть предельный случай, когда a(Ii)Uti -*• Iti.
Имеются основания считать, что при описании вещества и физических полей в рамках классической теории слабое энергетическое условие всегда выполняется. Это означает, что всякий поток энергии-импульса через световую поверхность оказывает фокусирующее действие на световые лучи.
§ 5.4. Теорема Хокинга. Принцип космической цензуры
Согласно теореме Пенроуза горизонт событий явлйется световой поверхностью, образующие которой при продолжении их в будущее никогда не пересекаются между собой. Каустики на горизонте, отвечающие образованию новых пучков образующих (р = — °°), могут возникать в результате падения внутрь черной дыры вещества, столкновения и слияния черных дыр и при воздействии на черную дыру поля от внешних источников. Эти особенности горизонта событий в сочетании с общими теоремами о световых поверхностях, доказанными ранее, позволяют вывести ряд важных утверждений относительно общих свойств черных дыр.
также оказываются выполненными. В случае, если /^являются касательными векторами к световой поверхности, то р удовлетворяет условию P =P .
7.И.Д. Новиков
97
Рассмотрим бесконечно узкий пучок образующих горизонта событий. Пусть сечение этого пучка в точке с аффинным параметром г имеет площадь ЬА (г). Отметим, что, согласно теореме Элерса — Сакса, величина ЬА (г) не зависит от конкретного выбора локального наблюдателя, ее измеряющего, и поэтому имеет инвариантный смысл. Предположим, что в некоторой точке г0 площадь сечения выбранного пучка начинает убывать, а тензор энергии-импульса, описывающий вещество и физические поля, окружающие черную дыру (и, возможно, падающие в нее), удовлетворяет слабому энергетическому условию. Тогда, по теореме о фокусировании, образующие горизонта событий, входящие в пучок, должны пересечься при конечном значении аффинного параметра. Чтобы согласовать этот результат с теоремой Пенроуза, приходится сделать вывод, что либо имеется физическая сингулярность на горизонте и образующие горизонта попадают в нее, прежде чем начнут пересекаться, либо неверно предположение, что площадь сечения пучка образующих может начать уменьшаться. Иными словами, предположение об отсутствии сингулярностей, на которые может натолкнуться горизонт событий, совместно со слабым энергетическим условием приводят к тому, что площадь сечения пучка образующих горизонта событий не убывает со временем. Хокинг (197 Ib, 1972а) доказал теорему, согласно которой площадь сечения пучка образующих не убывает со временем даже в том случае, если вместо предположения об отсутствии сингулярности на горизонте событий потребовать, что отсутствовали сингулярности, видимые C^+. Подобные (видимые с J+) сингулярности называют голыми. Условие отсутствия голых сингулярностей более строго формулируется как условие существования такой регулярной пространственноподобной поверхности 2, что все причинные кривые, выходящие на J + при продолжении их в прошлое, обязательно пересекают 2. Существование такой поверхности гарантирует, что задание на ней начальных данных, полностью описывающих состояние частиц и полей однозначно определяет эволюцию системы в области, видимой с J+, а это эквивалентно отсутствию видимых с .7+ сингулярностей. По терминологии Хокинга такие пространства называют асимптотически предсказуемыми.
Таким образом, если предположить, что отсутствуют сингулярности (либо на горизонте событий, либо вне его), то площадь сечения каждого пучка образующих горизонта событий не убывает со временем. С другой стороны, если на горизонте событий имеются каустики, где возникают новые пучки образующих, площадь сечения горизонта возрастает. Иными словами, сумма площадей S, (т) поверхностей черных дыр S3 ,-(г) является неубывающей функцией ’’времени” т. (Мы считаем, что <0, т.е.
сечение горизонта событий в более поздний момент г отвечает большим значениям аффинного параметра вдоль каждой образующей.) Аналогичный вывод о неубывании площади поверхности справедлив и для отдельно взятой черной дыры ®/(т). Эти результаты составляют содержание теоремы, доказанной Хокингом (197Ib, 1972а) (рис. 55).
