Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Этот результат можно описать более формальным образом, допускающим естественное обобщение на случай произвольных асимптотически плоских пространств. Пусть Iм— векторное поле Киллинга, отвечающее преобразованию симметрии в физическом пространстве-времени M I*1)=
= 0); тогда в конформном пространстве M оно удовлетворяет соотношению
Vc^-ST1 Ve (5.1.8)
где Vм - ковариантная производная в метрике ^tiu = ^gttv. В общем' случае, если пространство-время M не допускает точных изометрий, уравнение (5.1.8) не имеет нетривиальных решений. Это справедливо, в частности, для асимптотически плоских пространств общего вида. Однако, если ограничиться рассмотрением окрестности Cl и потребовать, чтобы уравнение (5.1.8) выполнялось лишь на Cl , то оно вновь имеет решения. Эти решения определяют векторные поля, генерирующие преобразования асимптотических симметрий. Замечательным является тот факт, что группа, отвечающая этим преобразованиям, не зависит от того или иного конкретного выбора представителя класса асимптотически плоских пространств. Эта группа получила название группы Бонди - Метцнера — Сакса (сокращенно БМС-группы). Подробное изложение ее свойств и описание ее представлений можно найти ^b работах Сакса (1962), Бонди и др. (1962), Пенроуза (1964), Маккарти (1972а, Ь, 1973), Маккарти, Крэм-пина (1973), Воловича и др. (1978*)• Здесь мы лишь кратко остановимся на основных свойствах этой группы, существенных для дальнейшего изложения.
Из-за того, что БМС-группа преобразований сохраняет лишь асимптотический вид метрики, а гравитационное поле медленно спадает на бесконечности, эта группа бесконечномерна и шире, чем группа Пуанкаре, точно сохраняющая форму метрики плоского пространства. Важным свойством БМС-группы является ‘то, что в ней имеется однозначно выделяемая нормальная 4-мерная подгруппа преобразований трансляций. В пространстве Минковского действие этой подгруппы на Cl совпадает с (5.1.7). В общем случае в асимптотически плоском пространстве в окрестности Cl можно ввести координаты, в которых преобразования подгруппы трансляций имеют вид (5.1.7). Подобные координаты называют, конформными координатами Бонди [см. Тамбурино, Виникур (1966), Волович и др. (1978*)].
Итак, мы описали класс асимптотически плоских пространств, обладающих асимптотическим поведением, сходным с асимптотическим поведением пространства Минковского, и изложили кратко их свойства. В этом классе пространств естественным образом можно ввести понятие асимптотически удаленного наблюдателя, движение которого происходит почти по инерции. Теперь можно дать строгое определение черной дыры. Однако 86
прежде чем сделать это, мы остановимся кратко еще на одном вопросе, связанном с теорией рассеяния безмассовых полей в асимптотически плоских пространствах, которая нам потребуется в последующих главах.
Введенное выше определение асимптотически плоского пространства оказывается особенно удобным при обсуждении задачи рассеяния безмассовых полей и, в частности, при описании свойств гравитационного излучения. Универсальный характер поведения (~1 /г) в волновой зоне (в асимптотической области) этих полей позволяет с помощью конформного преобразования перейти от задачи рассеяния в физическом пространстве-времени к задаче с регулярными начальными данными на световой границе прошлого С1~ в пространстве Пенроуза. При этом оказывается, что из регулярности поведения конформно преобразованного поля в окрестности Cf вытекает определенный закон спадания этого поля в асимптотической области.
Проиллюстрируем сказанное на примере скалярного безмассового конформно-инвариантного поля, описываемого уравнением
(П-ТЛ)
в асимптотически плоском пространстве (M, ?МУ). Осуществим с помощью конформного преобразования g= переход к конформному
пространству Пенроуза (M, g, О), дополнив его конформным преобразованием поля <р -*¦ $ = О-1 <$. Значения поля ір на световых границах прошлого Cf ~ и будущего Cl+ будем называть образами поля у на Cf' и Cf* и обозначать соответствующей заглавной буквой:
(5ЛЛ0)
Поле $ в пространстве Пенроуза удовлетворяет уравнению
(а-|ф-о.
(5.1.11)
где U = SaV Va и R- скалярная кривизна метрики gap. Задание образа Фіп поля ір в асимптотически простом пространстве позволяет найти <р путем решения уравнения (5.1.11) с начальными данными на регулярной световой поверхности Cl' и тем самым определить Ф0т- Иными словами, в асимптотически простом пространстве при условии, что асимптотически регулярное решение существует глобально, имеет место взаимно однозначное соответствие между полем ір и его образами на СГ и Cl* :
Фіп * у tP * * ^out- (5.1.12)
Условие асимптотической регулярности при этом играет роль условия излучения, а задача классической теории рассеяния может быть сформулирована как задача нахождения образа на Cl* решения ір, которое обладает заданным образом на СГ. Заметим, что асимптотически регулярное поле в асимптотической области (вблизи Cl) имеет вид
(5.1.13)
В пространствах Минковского в координатах (5.1.4) это поведение отвечает следующей асимптотике в волновой зоне:
