Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Фокусировка световых лучей гравитационным полем
Целый ряд важных свойств черных дыр непосредственно связан с тем, что горизонт событий, ограничивающий черную дыру, является световой поверхностью. Поэтому, прежде чем перейти к изучению этих свойств, остановимся более подробно на описании световых поверхностей в искривленном пространстве-времени.
Пусть в пространстве-времени с метрикой g^ v задана световая поверхность Г, уравнение которой в локальных координатах Xtl записывается в виде I^(Xfi) = 0. Тогда градиентный вектор ^ill является световым на Г : Stlv!1^, V _ Q = 0- Вне Г это соотношение, вообще говоря, не выполняется. Однако можно показать [см., например, Курант (1962)], что произвол в выборе функции \р может быть использован так, что поверхность Г (у(х) = = 0) окажется включенной в однопараметрическое семейство световых поверхностей Гс (</> (х) = с). Без ограничения общности будем считать, что такое включение произведено. Тогда
^>^,„ = 0. (5.3.1)
Если обозначить Zfi то соотношение (5.3.1) означает, что вектор
Zfi — световой и является касательным к поверхностям Гс. Более того, используя свойство ^ m= Ifit и равенство (5.3.1), имеем IvIlliv = IvIvitl =
92
= — (IvIv) м = 0, т.е. интегральные кривые векторного поля Zfi:
2
йіО. = /м (5.3.2)
dr
являются геодезическими, причем г — аффинный параметр. Если начальная точка интегральной кривой (53.2) лежит на световой поверхности Г, то она целиком принадлежит этой поверхности, а сама Г образована двумерным семейством световых геодезических (образующих). Пусть/- —аффинный параметр вдоль образующих, а уа (а = 1,2) — непрерывные параметры, их ’’нумерующие”. Тогда решение уравнения ^=O можно записать в следующем параметризованном виде: х11 - [^(г, уа), причем имеют место соотношения
э jv э Zji
^^Т=0’ = 'Ч=0- (53-3)
д г д у
С физической точки зрения поверхность Г описывает распространение фронта световой волны, а ее образующие — световые лучи, ортогональные фронту. Если выделить узкий пучок световых лучей, то информацию об их поведении можно получить с помощью следующего эксперимента. Расположим на пути пучка (ортогонально ему) непрозрачный объект, а на некотором расстоянии от объекта поместим ортогонально пучку экран. Тогда
теорема, доказанная Элерсом и Саксом [Йордан и др. (1961), Сакс (1961)], утверждает, что все части тени достигают экрана одновременно; размер, форма и ориентация тени зависят только от положения экрана и не зависят от скорости движения наблюдателя, а если экран расположен на малом расстоянии Sr от объекта, то .увеличение и деформация тени определяются величинами в Sr и | о \ Sr, где
1 Г1 V12
в=~ /“;a,-la| = [-/a:(3/“;(3-02J ¦ (5.3.4)
Мы воспроизведем здесь основные этапы доказательства этой теоремы применительно к рассматриваемому случаю. Это позволит нам более
Рис. 54. Иллюстрация к теореме Элерса - Сакса о распространении световых лучей
93
детально описать ряд важных характеристик световых поверхностей *). Пусть световой луч 7о ¦ описываемый уравнением хц =fu(r, у о), пересекает мировую линию наблюдателя в точке xf = /^(/-1 ,.)’?) и четырехмерная скорость наблюдателя в этот момент есть Ui (рис. 54). С точки зрения наблюдателя множество Ili событий xf+dx*1, одновременных этому событию, удовлетворяет условию
Ul^dx*1= 0. (5.3.5)
Выберем аффинный параметр г так, чтобы в точках пересечения лучей пучка с Ili выполнялось условие г = г\. Если потребовать, чтобы смещения dxц дополнительно удовлетворяли условию
I^dxti= О, (5.3.6)
то эти два условия совместно определяют двумерную площадку, перпендикулярную (в системе отсчета Uf) пучку световых лучей. Пусть (а = = 1, 2) — единичные ортогональные друг к другу векторы, а та =
= Zl/2(e“ + ief) .Тогда имеем
mama = mam Q = 0, maFna = I. (5.3.7)
Предположим теперь, что на пути светового пучка расположен объект, причем так, что часть двумерной площадки, ограниченная кривой
f“(0)s^“(0)-x“ =f(0)wa + J(d)ma, (5.3.8)
оказывается непрозрачной для световых лучей. Тогда за площадкой возникнет область тени, граница которой определяется условием
^=/^.^0+8/(0)), (5-3.9)
где у о + 5 уа(в) — значение параметра уа светового луча, проходящего через точку площадки л-“(б), а
f ^ruya0 +Ьуа(в))=хЧ + ?“(«). (53.10)
Пусть световой луч То при продолжении В точке Х$ = J^ir2 , _Уо) пересекает мировую линию 2 другого наблюдателя, четырехмерная скорость которого в этот момент равна Щ (см. рис. 54). С точки зрения этого наблюдателя пространство Il2 событий, одновременных с xf, растягивается векторами dx^ =Xtt-Xf, удовлетворяющими соотношению U2^dx1*= 0. Используем произвол (г-+r' -А (уа)(г - гх)+ гх) в выборе аффинного параметра, чтобы добиться выполнения равенства г = гг для всех световых лучей пучка в точках их пересечения с Il2 ¦ Нетрудно убедиться, что двумерная площадкаXм = /м(г2, J^o + 5 v"), описывающая положение фронта волны в момент xf в системе отсчета Uf, ортогональна направлению светового
Э Pi
луча, касательный вектор к которому /'J =-(г ^. Vo). Тем самым доказа-
