Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Исходя из того, что свойства асимптотически плоского пространства в окрестности ’’бесконечности” должны быть аналогичны свойствам пространства Минковского, Пенроуз (1963, 1964, 1965b, 1968) предложил следующие определения.
Сначала определяются так называемые асимптотически простые миры.
Пространство-время M с метрикой gм „ называют асимптотически простым, если существуют другое, ’’нефизическое” пространство Л?*) с границей ЬМ =Jn регулярная метрика g м„ на нем такие, что 1) М\ЪМ конформно М, причемg= Sl^gttv-, 2) Oljtf > О, Ol 3Jg =0, Ojм| ЗЛ^ =?0; 3) каждая световая геодезическая в M начинается и оканчивается на ЬМ.
Если в окрестности О метрика g м„ удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна (или уравнениям Эйнштейна с тензором энергии-импульса, достаточно быстро убывающим на бесконечности) и выполнены естественные требования причинности и ориентируемости пространства-времени, то, как показал Пенроуз, асимптотически простое пространство обладает следующими свойствами:
1. Пространство M имеет топологию R4, а его граница J является светоподобной и состоит из двух несвязных компонент Cl = J+ U С1~, каждая из которых имеет топологию S2 XR1.
2. Образующими поверхностей CJt являются световые геодезические в пространстве Л/, касательные векторы к которым совпадают с Oj м|
3. При удалении в бесконечность вдоль световой геодезической тензор кривизны в физическом пространстве M убывает, причем имеет место свойство так называемого Последовательного вырождения. Мы не будем подробно останавливаться здесь на этом свойстве, детальное описание его можно найти в литературе [см,, например, Сакс (1964), Сибгатуллин (1984*)].
Свойство 1 означает, что асимптотически простое пространство глобально устроено так же, как пространство Минковского. В частности, оно имеет сходную причинную структуру, и в нем ’’нет места” для черных дыр. Чтобы учесть возможность существования локализованных областей с
*) Это пространство мы будем называть пространством Пенроуза.
84
сильным гравитационным полем, наличие которых не изменяет асимптотических (при г -*¦ °°) свойств пространства-времени, достаточно рассмотреть класс пространств, которые с помощью ’’вырезания” отдельных внутренних областей, содержащих те или иные особенности (связанные с сильным гравитационным полем), с последующим гладким ’’заклеиванием” образовавшихся ’’дыр” могут быть превращены в асимптотически простые пространства. Такие пространства получили название асимптотически простых в слабом смысле. Более строго, пространство M называют асимптотически простым в слабом смысле, если существует асимптотически простое пространство M такое, что для некоторого его открытого подмножества К(ЪМ С К) область M П К изометрична подмножеству М. Асимптотически простые в слабом смысле пространства, в которых метрика в окрестности Cf удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна (или уравнениям Эйнштейна с достаточно быстро убывающим тензором энергии-импульса) , будем называть асимптотически плоскими.
Пространство-время Шварцшильда (2.2.1) и Керра (4.2.1) асимптотически плоские. Диаграммы Пенроуза для них изображены на рис. 50 с и 67. Метрика ds2 пространства, конформного пространству-времени шварц-шильдовской вечной черной дыры, может быть получена из метрики (2.7.12) путем перехода от координат Крускала її, и к координатам
1 2и 1 2и
Я' = — arctg ------—-—— , g = — arctg ----------—-----—- ,
2 I -(V2-U2) 2 I +(V2 - и2)
-7г/2<^ + ?<7г/2, —я/2<Ф — ? <я/2,
-я/4 < Ф < я/4,
с последующим выделением конформного фактора.
Отмеченное выше свойство 3 означает, что в асимптотически плоских пространствах в окрестности CJ эффекты, связанные с кривизной, пренебрежимо малы, а само пространство-время мало отличается от плоского. В частности, в этой области с хорошей точностью выполняются обычные законы сохранения энергии-импульса, а движение пробных тел приближенно можно считать равномерным и прямолинейным. В соответствии с этим в асимптотически плоском пространстве можно определить группу асимптотических симметрий. Для этого заметим, что преобразование из группы Пуанкаре пространства Минковского в декартовых координатах имеет следующий вид:
Xti^Xltl = AtivXv +а», (5.1.5)
где Ativ- матрица преобразования Лоренца, Oti - вектор трансляции, отвечающий сдвигу начала координат. Введем теперь в пространстве Минковского запаздывающие (и, г, в, у) или опережающие (и, г, в, <р) координаты, и пусть U1 обозначает либо запаздывающую (и), либо опережающую (и) временную координату. Тогда преобразованию (5.1.5) отвечает, следующее преобразование координат w, г, в, у:
w' = w'(w,r,9, ip), r'= r'(w, г, 0, ip), (5 16)
в' = e'(w, г, в, *р), у = tp'(w, г, в, у).
В пределе г -* °° функции, описывающие это преобразование, принимают
85
более простой вид. В частности, сдвигам (Amv = 0)в физическом пространстве-времени в этом пределе отвечают следующие преобразования:
W1 = w + ао +Oi sin0 cos+а2 sin0 sin^ +д3 cos0,
0' - в, *' = *,
осуществляющие сдвиг поверхности Cfвдоль своих образующих.
