Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Строгое определение асимптотически плоских пространств было предложено Пенроузом (1963). К этому определению можно прийти посредством следующих рассуждений.
Рассмотрим сначала, как устроено на бесконечности плоское пространство-время Минковского М. Для этого поступим обычным в геометрии
6.И.Д. Новиков
8*1
a b
Рис. 49а. Конформная структура нространства-времени Минковского Рис. 49й. Диаграмма Пенроуза пространства-времени Минковского. На диаірамме изображены времениподобные (/, Ґ. . . .), иространственноподобная (2) и световая (І) геодезические
способом — сделаем необходимое конформное преобразование, приближающее бесконечно удаленные точки на конечное расстояние. Перейдем сначала от обычных сферических координат t, г, в, <р в пространстве-времени M к новым координатам ф,%,в,ір с помощью следующего преобразования :
г+г = tg^(v!/+?). 0=0. (5.1.1а)
t-r = tg - ?). = V, (5.1 ЛЬ)
-тг/2 < ф - ? < ф + % < я/2.
Тогда интервал ds2 записывается в виде
ds2 = Sl~2d T2, d~s2 = —dф2 + d%2 + sin2 ^ dco2, d со2 =d92 +Sin2Ody2, где
(5.1.2a)
SI = 2 cos ^(v!/ + ?) cos (ф - ?). (5.1.2b)
Точкам на бесконечности в пространстве-времени Минковского соответствуют значения ф + ? и ф — ? , равные ± я/2. Метрика ds2 при этих значениях координат теряет смысл, но конформная ей метрика dT2 при этом регулярна*). Изучая конформную структуру на многообразии (5.1.1) с границей, мы изучаем тем самым конформную структуру пространства-времени Минковского, включая бесконечность. Напомним, что при иссле-
*) При ( = О и ? - п метрика (Il7 имеет устранимые координатные сингулярности.
82
довании общих свойств пространства-времени именно конформная структура важна, так как она определяет причинные свойства окрестности точек, в том числе и свойства световых конусов.
Метрика d s 2 является метрикой 4-мерного цилиндра S3 X H1 (рис. 49а). Неравенства (5.1.1 Ь) вырезают на цилиндре область, соответствующую М, на рис. 49 а она заштрихована (разумеется, мы можем изобразить только две из четырех координат, в и у опущены). Если вырезать из цилиндра область М, разрезать ее в точке /° и развернуть на плоскость, то получим рис. 49b. В таком виде обычно изображают конформный мир Минковского. Это — так называемая диаграмма Пенроуза для М. Надо помнить, что на рис. 49Ь левая и правая точки I0 совпадают, т.е. должны быть ’’склеены”.
На диаграмме Пенроуза все времениподобные кривые начинаются в точке /~ и заканчиваются в точке I*, а все пространственные сечения проходят через I0 . Поэтому Г называют временной бесконечностью прошлого, Ґ - временной бесконечностью будущего, I0 - пространственной бесконечностью.
Все нулевые геодезические в M начинаются на границе Cl' (на световом конусе будущего точки ) и заканчиваются на Cl* (на световом конусе прошлого точки Ґ). Границы С1~ и Cf* называют соответственно световой бесконечностью прошлого и световой бесконечностью будущего. Мы видим, что границами M являются "бесконечности” Cl' , Cl* и точки Г , I*, I0 .
С помощью диаграмм Пенроуза удобно изучать глобальную структуру пространства-времени и в случае, когда геометрия существенно отличается от плоской. При этом принято использовать координаты, в которых световые лучи изображаются прямыми линиями с наклоном 45° (этим свойством обладают, в частности, использованные выше координаты ф, ?). В таких координатах особенно наглядна причинная структура, определяемая расположением локальных световых конусов. Само собой разумеется, что на двумерных диаграммах Пенроуза изображается геометрия определенных двумерных сечений пространства-времени.
Вернемся теперь к вопросу о бесконечно удаленных наблюдателях. Мировые линии таких наблюдателей, покоящихся в точках г, г’ ,г" ,г'" (г < г' < г" <г'") , изображены на рис. 49b линиями I, I', l", I соответственно. Чем больше величина г , тем ближе к С1~ и J+ проходит соответствующая линия. В пределе г -* <» она стремится к и Cf* . Поэтому логично называть бесконечно удаленными границами M именно ,7~ и J+. Заметим, что фактор Q в (5.1.2), осуществляющий конформное преобразование, обращается в нуль на Cl— Cl* U Cl ~ , а его градиент ЪП
—— Ф 0 является световым вектором, касательным к образующим
дх ц
поверхности Cf.
Для исследования мира вблизи С! бывает удобно пользоваться вместо
(5.1.1) другими координатами. Заметим, что интервал в мире Минковского может быть записан с использованием запаздывающей световой
6* 83
/
координаты и = t — г :
ds2 = —du2 -Idudr +r2du2. (5.1.3)
Далее, сделав преобразование р = г , можно записать метрику в следующем конформном виде:
ds2 - ?l~2dl;2, d's2 =—p2du2 + ldudp + doj2,
О = p = г'1 . (5.1.4)
В этих координатах поверхность J+ описывается уравнением р = 0. Точка HaJ+ с координатами и0, O0, отвечает переходу к пределу г ^ca вдоль выходящего светового луча и = и0, в =0О, = ^0- Координаты (5.1.4),
однако, неприменимы для описания J-. Аналогичным образом, путем замены и на опережающую световую координату и = t + г, можно описать У~.
