Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Г2 - 2 Mr ± а у/ Mr гл с а\
Екруг= r(r2 -3Mr± 2aVW-)ll2 ’ (4'5'8)
V Mr(r2 T 2а\[Мг + а2 )
і = + —------------------ ---------— (4 5 9)
Kpyr " r(r2 -3Mr± 2а VMl-)'12 '
Здесь и в приводимых ниже формулах верхние знаки соответствуют об-
ращению частицы в ту же сторону, в которую вращается черная дыра, нижние — в противоположную, поэтому будем всюду считать а > 0.
Радиус ближайшей к черной дыре круговой орбиты, по которой движение происходит со скоростью света, есть
т
^фотона 2М\ I +COS
-J- arccos
'(tIi )
(4.5.10)
Эта орбита неустойчива.
Неустойчивая круговая орбита, на которой Екруг=т, определяется выражением
Гсвяз =2М + а + 2М1/2(М+а)1/2. (4.5.11)
Эти значения радиуса являются минимумами периастров всех параболических орбит. Если орбита частицы, прилетающей в экваториальной плоскости из бесконечности, где ее скорость с, подходит к черной дыре ближе, чем гсвяз, то частица захватывается черной дырой. Значение радиуса г о периастра параболической орбиты определяется параметром L
*) Этот интеграл движения связан с существованием в метрике Керра тензорного лоля Киллинга (П.17) [Картер (1968а, 1973а, 1977), Уолкер, Пенроуз (1970)].
64
Таблица 2
Орбита
о = О
о = M
I > О
L < О
1 фотона
1,5
2
3
0,5 С,5 0,5
2
2,92
4,5
Таблица 3
Орбита о = 0 а ~ --M
L > 0 L < 0
Е/т ч/8Т9 ^/ї7T sj 25/27
{т - Е)/т 0.0572 0,423 0.0377
I L I ImM 2 ч/Т 2 IsfT 22/Зч/Т
частицы: __________________
г о =MfI2 +v/f4 -(2 L-a/M)2],
(4.5.11а)
причем IL I < 1 + \/ I + a I М.
Наконец, радиус граничной окружности, отделяющей устойчивые круговые орбиты от неустойчивых, дается выражением
ггр =Л/{3+Z2+ [(3-Z1 )(3+Z1 +2Z2)]1/2! , (4.5.12)
где
Z1 = I +(I -a2 IM2) 1Z3Kl + а/М)1 Z3 +(I — л/Л/)1/3],
Z2 =Qa2IM2 +Z21)1/2.
В табл. 2 приведены значения рассмотренных выше величин для предельно быстро вращающейся черной дыры a =M в сравнении со случаем а = О (в единицах rg = 2GM/c2). Заметим, что при а ->Минвариантное расстояние
от точки г до горизонта /•+, равное /
(Ir'
, расходится. Поэтому,
г+ д (г1)112
хотя при L > О радиусы г всех трех орбит стремятся к одному и тому же значению г+, это вовсе не означает, что все орбиты в этом пределе совпадают друг с другом и лежат на горизонте [см. Бардин и др. (1972) ].
Наконец, приведем значения удельной энергии h'/m, удельной энергии связи (т — Е)/т и удельного момента | L | \тМ пробной частицы на последней устойчивой орбите /"гр (табл. 3).
Уравнение (4.5.6) показывает, что вблизи вращающейся черной дыры возможны движения частиц с отрицательным Е. Решим его относительно Е:
2aML + [L2г2 Л +W2M + г3(Jr-IdX)2] 1Z2
E= -----------4--------------------------—------. (4.5.13)
г +а г+ IMa2
Знак корня выбран положительным, так как это соответствует направлению 4-импульса частицы в будущее [Мизнер, Торн, Уилер (1973)]. Числитель (4.5.13) отрицателен, если L < 0, и первое слагаемое превышает корень квадратный из скобки.
5.И.Д. Новиков
65
Второе и третье слагаемые в скобке можно сделать сколько угодно малым (т-> 0 соответствует переходу к ультрарелятивистской частице, dr/JX-^O соответствует переходу к движению в азимутальном направлении). Тогда условия отрицательности E соответствует выбору точек внутри эргосферы г </¦]. Если т^О и dr/dX Ф 0, это накладывает добавочные ограничения.
Выражение (4.5.13) справедливо только для в=-п/2. Можно показать, что орбиты с отрицательным E возможны внутри эргосферы при любом
О Ф 0. Наличие орбит с E < 0 делает возможным механические процессы, ведущие к извлечению ’’вращательной энергии” черной дыры. Такие процессы были открыты Пенроузом (1969). Подробно это явление и физические следствия из него будут обсуждаться в § 8.1.
Рассмотрим теперь некоторые движения пробных частиц не в экваториальной плоскости и прежде всего нерялятивистских частиц, движущихся с параболической скоростью (U00=O) и нулевым угловым моментом (L = 0). Такие частицы будут падать с постоянным 0 и увлекаться во вращение вокруг черной дыры в широтном направлении с угловой скоростью (4.3.11) ,т.е. угловой скоростью движения локально ’’невращаю-щихся наблюдателей”.
Таким образом, в системе отсчета локально ’’невращающихся наблюдателей” эти частицы в каждой точке падают радиально.
Другой важный случай представляет падение ультрарелятивистских частиц (фотонов), которые на бесконечности движутся с JO/JX = O и L:=aEsin2Q. Для них уравнения (4.5.1)-(4.5.4) сводятся к следующим:
Мировые линии этих фотонов используются при построении системы координат Керра (§ 4.4).
§ 4.6. Гравитационный захват частиц
По аналогии с § 2.9 рассмотрим гравитационный захват частиц вращающейся черной дырой [обзор см. Дымникова (1986 *) ].
Прицельный параметр Aj. захвата нерелятивистской частицы, движущейся в экваториальной плоскости, определяется выражением
Форма сечения захвата для случая падения частиц перпендикулярно оси вращения черной дыры с a =M показана на рис. 33 [Юнг (1976)]. Площадь сечения захвата для этого случая
