Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
По-разному, как мы видели, называют хронометрическую систему отсчета (см. с. 54). Весь этот ’’разнобой” носит исторический характер, однако авторы надеются, что в ближайшее время установится некое единообразие.
57
Как и следовало ожидать, эта скорость обращается в скооость света на пределе статичности г = ^1 и превосходит ее в эргосфере.
Подчеркнем еще раз, что собственное время локально невращающихся наблюдателей т отличается от универсального ’’времени” t. Связь между ними дается функцией ’’длительности” а:
( dr\ I р2А \ 1/2
Ы„ ¦¦-(—) - <4-злз>
Приведем выражения для вектора ускорения свободного падения в системе локально невращающихся наблюдателей:
M
Fr =-[(г2 + a2)2(a2cos2в - г2) + 4A/r3a2sin20],
P2AA і
Mr{r2 + а2)
Fq = a sin 20-------------- , (4.3.14)
P2A
^ = O,
где A1 = р2(гг +a2) + IMra2 sin20.
Вектор F связан с а соотношением
F = —V In а. (4.3.15)
Тензор скоростей деформации системы записывается в виде
Drr ~ DrQ ~ Dge ~ р — 0,
Drtp = — Ma[lr2(r2 + a2) + p2(r2 - a2)] sin 20(р3 V A-^i)'1 > (4.3.16)
Ddtp = 2Mra3sin30cos0 \/~А( P3VrAl)'1, а тензор Aik =0.
Рассматриваемая система отсчета не имеет никаких особенностей на пределе статичности и продолжается в эргосфаре вплоть до границы черной дыры г = г+. При г </•+, помимо вращения вокруг черной дыры, необходимо происходит еще и падение по г. Система локально невращающихся наблюдателей при г = г+ имеет физическую особенность: Fr -+°° при г ->/¦+ [см. формулу (4.3.14) ] •
При приближении к горизонту событий угловая скорость обращения локально невращающихся наблюдателей стремится к пределу:
со+ = c3a/2GMr+: (4.3.17)
Этот предел постоянен на горизонте и не зависит от в. Его называют угловой скоростью вращения черной дыры (или горизонта) SIh .
На пространственной бесконечности система отсчета локально невращающихся наблюдателей переходит в ту же самую лоренцеву систему отсчета, что и система Бойера — Линдквиста (хронометрическая система).
В заключение параграфа остановимся на вопросе о ’’вращении” локально невращающихся наблюдателей и о прецессии гироскопов в системе отсчета, связанной с этими наблюдателями.
С одной стороны, система отсчета таких наблюдателей выбрана невра-щающейся, т.е. так, что Ajk = 0. Это значит, что отсутствует поворот системы относительно локально лоренцевой системы отсчета, а значит, и пре-
58
цессия гироскопа в системе отсчета локально невращающихся наблюдателей. С другой стороны, например, в книге Мизнера, Торна, Уилера (1973) говорится, что гироскопы прецессируют по отношению к локально невра-щающимся наблюдателям с угловой скоростью
где e'i-, eg — единичные векторы вдоль г и в соответственно, а величины gа(з берутся из выражения (4.2.1). Как совместить оба эти утверждения?
Парадокс разрешается следующим образом. Напомним, что движение малого элемента произвольной системы отсчета относительно локально
сопутствующей лоренцевой системы состоит в повороте вокруг мгновенной оси вращения и деформации вдоль главных направлений тензора скоростей деформации. Если поворота нет (Aik = 0), то дело сводится только к деформации. Гироскоп, центр масс которого неподвижен в системе отсчета, при этом не прецессирует относительно главных направлений тензора скоростей деформации. Если вдоль этих направлений провести линии, сопутствующие системе отсчета (’’приклеенные” к ней), то гироскоп не изменит своей ориентации по отношению к ним. Однако это вовсе не значит, что при этом гироскоп не меняет ориентацию по отношению к любой линии, проведенной в данном элементе объема и сопутствующей системе отсчета. В самом деле, из рис. 31 видно, что при анизотропной деформации линии, наклоненные, например, под углом 45° к главным направлениям тензора деформации и ’’приклеенные” к системе отсчета, поворачиваются, приближаясь к направлению наибольшего расширения. По отношению к этим линиям гироскоп прецессирует, хотя Alk = 0. Именно эта ситуация и имеет место в случае локально невращающихся наблюдателей в метрике Керра.
Рассмотрим локально невращающихся наблюдателей в экваториальной плоскости. Везде Aik =0, и, согласно формулам (4.3.16), отличной от нуля является лишь компонента Drip. Это значит, что мгновенные ориентации главных осей тензора деформации направлены под углом 45 к векторам е? и еф. Заметим, что координатные линии <р ’’приклеены” к системе отсчета. Гироскоп не поворачивается по отношению к главным осям, но,
е§
(4.3.18)
К
/
/
/
/
Рис. 31. Поворот диагонали OA при анизотропной деформации элемента объема вдоль направлений OB и ОС
В
//
//
о
59
согласно предыдущему замечанию, поворачивается по отношению к координатной линии у, а значит, ике^ (и, следовательно, к перпендикулярному к нему вектору ер, который не ’’приклеен” к системе отсчета; см. далее).
Итак, если локально невращающийся наблюдатель все время будет ориентировать свой репер вдоль направлений ер, и eg, то гироскоп будет прецессировать по отношению к этому реперу согласно формуле (4.3.18), несмотря на то, что в системе наблюдателя Ajk = 0. Репер е*,е^, eg — естественный; прецессию гироскопа следует определять по отношению к нему, ибо он определяется симметрией пространства вокруг наблюдателя. Ho можно ввести и другой репер, например репер, который также связан с локально невращающимся наблюдателем, но не поворачивается относительно мгновенно сопутствующей лоренцевой системы. В таком репере гироскопы, конечно, не прецессируют.
