Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для частиц, падающих параллельно оси вращения, прицельный параметр А и захвата может быть найден следующим образом, Введем обозначения
Jr
JX
JO Jtp аЕ Jt
вращающейся черной дырой
(4.6.1)
Oi = 14,27г(1/и„)2Л/ 2.
(4.6.2)
66
Рис. 33. Сечение захвата для частиц, движущихся перпендикулярно оси вращения черной дыры с a = M к Doc-*0. Масштаб по осям - в единицах M (!/и»)
Ъ її = Ь\\/М,а = а/М. Тогда Ъ и находится как решение уравнения
(I - я)2 qо + 4(5я2 - 4)q30 -8д2(6+ a2)q\ - 48д4^0 - 16а6 = 0, (4.6.3)
где q0 = uL(?j -а2). Для а = 1
h
3,85(-W а и = 14,8 —W/2. (4.6.4)
\ Uoo / V Vaa J
Рассмотрим теперь ультрарелятивистские частицы. Прицельные параметры захвата /ь для движения экваториальной плоскости даются следующими формулами:
h* J1 1 -
— =8cos—(л - arccos а) + а (4.6.5)
M L 3 J
для движения с положительным моментом и
Ir
~м
Icos3
arccos |a|j + 2 (4.6.6)
для движения с отрицательным моментом.
Площадь сечения захвата для этого случая
Oj = 24.3 лМ 2. (4.6.7)
Для фотонов, летящих параллельно оси вращения черной дыры с а = 1, соответственно
— =2(1+>/2), а и = 23,3 л M 2. (4.6.8)
M
Сравнение сечений захвата, приведенных в этом параграфе, с данными § 2.9 показывает, что вращающаяся дыра захватывает падающие частицы менее эффективно, чем невраіцающаяся с той же массой.
§ 4.7. Волновые поля вокруг вращающейся черной дыры
Аналогично тому, как изучались слабые (не возмущающие фоновую метрику) волновые поля в метрике Шварцшильда, исследуется эта же задача и в метрике Керра. Главная сложность здесь связана с тем, что метрика обладает лишь осевой (а не сферической, как шварцшильдовс-кая) симметрией. Картер, нашедший четвертый интеграл и разделивший
5* 67
переменные в уравнениях геодезических в метрике Керра (см. § 4.5), показал, что уравнение для массивного (заряженного) поля со спином нуль в этой метрике также допускает разделение переменных [Картер (1968b) 1. Тюкольскому (1972) удалось расцепить систему уравнений для компонент безмассового поля для спина 1 и 2 и свести эти уравнения к одному производящему волновому уравнению для комплексной скалярной функции. Аналогичный результат был получен Тюкольским (1973) для безмассового поля спина 1/2 [см. также Унру (1973)]. Это производящее уравнение в координатах Бойера — Линдквиста (4.2.1) —
2^2 ' Э2 AMar
+ •
dt Д dt dip
(4.2.2) имеет вид
[(-ljT2- -м)
-I------------!_) Л
\ Д sin20 / dip2 dr \ dr )
I d ( d \ / a(r - М) /cos0 \ Э
-------------sin 0 — - 2П --------------- + ----—) ---------
sin0 . 30 \ 30/ \ Д sin 0 / dtp
(M(г2 - а2) \ d , , 1
— 2s I----—---------г — ia cos в J —— + s ctg 0 — s J'I'(j) =0.
Здесь s — спин поля. Свойство разделения переменных в этом уравнении означает, что решение Ф можно записать в виде
^(s)=eitot+im^P(r)S(e).
Сфероидальные волновые функции S(O) были подробно изучены в работе Факерелла и Кросмана (1977). Как и в случае метрики Шварцшильда, решение Ф (j). производящего уравнения позволяет определить все компоненты рассматриваемого безмассового поля.
Метод разделения переменных бьш использован для анализа устойчивости метрики Керра [Пресс, Тюкольский (1973), Стюарт (1975)] и для изучения рассеяния электромагнитного, гравитационного и нейтринного полей на керровской черной дыре [Старобинский, Чурилов (1973*), Тюкольский, Пресс (1974) , Чандрасекар, Детвилер (1975b, 1976), Детвилер (1977), Чандрасекар (1979b) ].
В уравнении Дирака с ненулевой массой не удавалось разделить переменные до тех пор, пока Чандрасекар (1976) не предложил новый метод, в котором разделение переменных производилось до расцепления системы уравнений. Пэйдж (1976с) и Туп (1976) распространили этот подход на случай дираковского уравнения для массивных заряженных частиц. Взаимодействующие электромагнитные и гравитационные возмущения в метрике Керра - Ньюмена рассматривались в работах Ли (1976), Читра (1976), Факерелла и Кросмана (1976). Полное изложение математической теории распространения физических полей в пространстве-времени вращающейся черной дыры читатель найдет в книге Чандрасекара (1983), где также имеются дальнейшие ссылки на оригинальные работы.
68
Здесь мы ограничимся только кратким описанием основных идей, методов и физическими выводами. Особое внимание будет уделено, как и в случае сферической черной дыры, распространению гравитационных волн, а также явлению суперрадиации, специфичному для вращающейся черной дыры.
Начнем с рассмотрения распространения гравитационных волн. Чандрасекар, Детвилер (1975b, 1976) и Детвилер (1977) показали,
что гравитационные возмущения вокруг вращающейся черной дыры с массой M и параметром а могут быть определены с помощью решения следующего скалярного уравнения:
</2Ф
-------V(r, М, а, I, т, со)Ф = 0. (4-7.1)
dr\
Здесь г.-обобщенная ’’черепашья” координата, введенная Уилером (1955):
drt = Д'‘(/-2 +a2)dr. (4.7.2)
Величина г ,-*¦ °° при г -*-°° и rt °о при г = г+. Потенциальный барьер V,