Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, наконец, что если в некоторый момент выбрать одну систему координатных линий, ’’приклеенных” к локально невращающимся наблюдателям и направленных строго по г, а другую систему — по <р, то с течением времени координатные линии по у будут скользить вдоль самих себя в ’’абсолютном” пространстве, а линии, бывшие им перпендикулярными, будут ’’наматываться” на черную дыру, превращаясь в спирали, так как станут увлекаться более быстрым движением наблюдателей, ближе расположенных к черной дыре, т.е. эти линии будут поворачиваться по отношению к линиям <р.
§ 4.4. Пространство-время вращающейся черной дыры
Рассмотрим общие свойства пространства-времени вращающейся черной дыры, описываемого решением (4.2.1).
Введем систему координат, которая не обладает координатными особенностями нигде в пространстве-времени, кроме истинной сингулярности, аналогично тому, как мы это делали в пространстве-времени Шварцшильда*) . В шварцшильдовском пространстве-времени в качестве координатных линий можно было использовать мировые линии фотонов, движущихся по радиусу к центру [см. (2.4.12)]. В случае вращающейся черной дыры также можно использовать мировые линии фотонов, движущихся к черной дыре. Однако теперь вблизи черной дыры траектории фотонов будут закручиваться вокруг нее, увлекаемые ее ’’вихревым” гравитационным полем. Следовательно, при наличии вращения черной дыры, помимо замены координаты [подобно (2.4.11)], надо еще ввести ’’кручение” по координате <р.
Оказывается, что наиболее простое выражение для метрики получается, если использовать мировые линии фотонов, которые на бесконечности движутся с постоянным в и имеют проекцию момента импульса на ось вращения черной дыры Lz = a b'sin2 б (см. следующий параграф), где E — энергия частицы на бесконечности. Можно показать, что переход к такой
*) Разумеется, мы не принимаем в расчет тривиальную координатную сингулярность на полюсе сферической системы координат, к которой все давно привыкли и смысл которой очевиден.
60
Рис. 32. Пространство-время вращающейся черной дыры: 1 - нулевая мировая линия вдоль предела статичности, 2 - ’’выходящие” фотоны, образующие горизонт, 3 - падающие внутрь фотоны
системе ’’свободно падающих” фотонов достигается заменой координат: dr
~А ’
dr
dV =dt + (г2 +a2 )
(4.4.1)
d if =dif + a
Получающаяся система координат носит название координат Керра (1963): ds2 =- [I - p-2(lMr)]dV2 + 2dr dV + p2dd2 +
+ p~2[(r2 + а2)2 — Aa2 sin2e]sin2e dfi2 -
— 2а Sin2Odip dr —4ap~2Mr sin2 в dipd V- (4.4.2)
Лучше всего общие свойства геометрии вращающейся черной дыры видны на пространственно-временной диаграмме в координатах Керра (рис. 32). Здесь вместо координаты V используется временная координата t:
I=V-г. (4.4.3)
Подобные диаграммы в координатах Эддингтона мы уже использовали в гл. 2. Существенное отличие рассматриваемого сейчас случая состоит в том, что метрика Керра не обладает сферической пространственной симметрией, а только осевой.
Поскольку на этих диаграммах одна из вращательных степеней свободы не изображается (поворот вдоль ’’меридианов” в), то они дают информацию только для какого-нибудь сечения (например, для экваториальной плоскости в = 7г/2, как это сделано на рис. 32). На рисунке изображены некоторые мировые линии фотонов, которые существенны для описания свойств геометрии Керра. Прежде всего надо помнить, что рассматриваемые координаты с приближением к горизонту закручиваются все сильнее и сильнее вокруг черной дыры. Мировые линии фотонов, падающих внутрь черной дыры, изображаются прямыми. В координатах Бойера — Линдквиста (жесткая сетка — см. § § 4.2,4.3) они выглядели бы закрученными. Здесь же координатные линии закручиваются точно так же, как и траектории фотонов, поэтому эти траектории по отношению к координатным линиям
61
выглядят прямыми (собственно, мы так и выбирали координатные линии, чтобы они совпадали с траекториями падающих фотонов). На пределе статичности гх [см, (4.3.6), (4.3.7)] мировая линия г, 6,$ = Const является нулевой, световой конус здесь касается этой линии. Ближе предела все фотоны и частицы обязаны участвовать во вращательном движении вокруг черной дыры, двигаясь с dip/dt > 0. Ho они могут вылететь из-под предела статичности к г >rt.
На горизонте все времениподобные и нулевые мировые линии направлены внутрь черной дыры, за исключением единственной в каждой точке горизонта нулевой линии ’’выходящего” фотона, которая касается горизонта. Это семейство мировых линий ’’навивается” на горизонт (см. рис. 32), все время оставаясь на нем. Уравнение этих нулевых геодезических в координатах Керра имеет вид
а V
г = г+, в = const, у - —-----------— . (4.4.4)
г; + а
Все другие фотоны и частицы, достигнув горизонта, обязаны продолжать падать внутрь черной дыры.
Поскольку метрика Керра инвариантна относительно преобразования t -*¦ f-tp, переводящего входящие световые лучи в выходящие, можно
выполнить это преобразование в (4.4.1). Если при этом произвести замену
