Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где Q0 и Qx - константы. Затухающая часть имеет характерное время изменения порядка rg/c. Поэтому волны Ф/ этой частоты будут частично отражаться от потенциального барьера и идти вновь к черной дыре (кг, = —°°), а частично проходить сквозь барьер и уходить на бесконечность (г, = °°). Постоянная1 же часть (Q0) порождает возмущение бесконеч-
Торн (1972)].
(3.4.1)
46
ной длины волны, которая полностью отражается барьером и не выходит к внешнему наблюдателю. Следовательно, к нему будут приходить непосредственно от источника возмущения только экспоненциально затухающие волны. Однако затухание всего излучения не будет экспоненциальным, так как оно связано с рассеянием первичных волн на ’’хвостах” потенциального барьера (т.е. на кривизне пространства). Прежде чем выяснять детально, к чему это ведет, рассмотрим подробнее прохождение волн через потенциальный барьер [Торн (1972)].
Пусть волна идет от дыры наружу (от г, = —о» к г, = оо). Разложим Ф/ (t, г,) в интеграл Фурье:
Ф, (t, г,) = JA (к) Rlk(r.)e~ik,dk. (3.4.2)
_ OO
Часть этой волны отражается, а часть проходит сквозь барьер. С помощью уравнений (3.2.2) и (3.1.2) можно показать, что общее решение для такой
волны имеет следующий асимптотический вид для R1k:
R'k=eikr* + r<*>e-''kr* при г. -»-Oej (3.4.3)
R1k=T^ekr* при г, -»OOj (3.4.4)
где Г<*> - коэффициент отражения, - коэффициент прохождения
волны, идущей направо, т.е. от г, = —оо к г, = оо (индекс (R)). Для малых IfcK IIrg вид коэффициентов следующий:
Г<Л) = -1 + QrgIk, (3.4.5)
7І*) ------ --------------------------------------------------(rgik),+1. (3.4.6)
к (71- I)!! * V '
Здесь а и P - константы порядка единицы. При к-* О волны испытывают полное отражение.
Для волн, распространяющихся налево (от г, = икг, =—оо,индекс (L)), можно получить аналогичное решение с коэффициентами
If0 = (~1)'+1 + —“"!у, М02,+ 1, (3-4.7)
TiL) = B(rgik),+ 1- (3.4.8)
у и 6 - константы порядка единицы. При к-* О — снова полное отражение от барьера.
Вернемся теперь к закону затухания волн при t -*°°. Рассмотрим область г > 1,5 rg, т.е. вне потенциального барьера. Волны Ф от источника, частично прошедшие через барьер, испытывают рассеяние назад на ’’хвосте” потенциала при r,<rg. Эти волны доходят до г, «0, вновь отражаются от потенциального барьера и интерферируют с идущими назад волнами. Рассеяние назад и интерференция и определяют закон затухания. Он оказывается следующим:
Ф,~Г~(2'+2). (3.4.9)
47
В область rg < г < 1,5г^ также проникают волны, рассеянные на ’’хвосте” потенциала. В результате затухание в этой области определяется той же формулой (3.4.9).
Итак, асимптотика затухания радиационных мультиполей возмущений
I > 2 гравитационного поля черной дыры при t -» °° определяется формулой (3.4.9). Напомним, что возмущение поля с I = 1 (соответствующее моменту импульса) не изменяется вообще (это нерадиационная мода). Все остальные мультиполи возмущений (т.е. с I > 2) полностью исчезают при t
Таким образом, при коллапсе слегка несимметричного тела без вращения возникает сначала слегка возмущенная черная дыра (со слегка возмущенной границей и возмущенным внешним полем), но эти возмущения все излучаются (частично наружу, частично внутрь черной дыры) и при t-*¦00 черная дыра в точности описывается метрикой Шварцшильда.
Этот же вывод справедлив и для полей со спином, отличным от двух. Все радиационные мультиполи таких полей (/ > х) также излучаются и асимптотика их затухания определяется той же формулой (3.4.9). Прайс сформулировал этот вывод следующим образом: ’’Все, что может излучиться, излучается полностью”.
Заметим в заключение, что вывод о неизбежности излучения радиационных мод поля Cs=I (электромагнитного) был получен Гинзбургом (1964*), Гинзбургом и Озерным (1964*), а для поля с s = 2 (гравитационного) Дорошкевичем и др. (1965 *), Новиковым (1969*).
§ 3.5. Сечение рассеяния волн черной дырой
Рассмотрим процесс рассеяния черной дырой приходящих из бесконечности плоских волн [Хандлер, Метцнер (1980)].
Напомним, что процесс рассеяния описывается так называемым дифференциальным сечением рассеяния. Например, в классической задаче рассеяния пучка параллельных лучей в приближении геометрической оптики
Рис. 28. Траектории лучей с прицельными параметрами, близкими к bg\ (’’глория ’’-интерференция)
дифференциальное сечение рассеяния ^определяется следующим образом: db
da = b—^ (SinG)- dil., (3.5.1)
где b = Ь(6) — прицельный параметр луча, отклоняющегося в поле рассеивающего центра на угол в от направления падающего пучка, — элемент телесного угла (dQ = 2л sin0 d6).
48
Рис. 29. Дифференциальное сечение рассеяния гравитационного излучения невращающейся черной дырой для различных частот со
В случае черной дыры и в пределе геометрической оптики зависимость b = Ь(в) определяется уравнениями (2.8.6)-(2.8.7); в этом случае вычисление da тривиально. Специальный интерес представляет волновая задача, где важен учет интерференции рассеянных волн и поглощения части волн черной дырой. Задача эта решается разложением падающих волн по сферическим гармоникам с последующим анализом рассеяния каждой из них на потенциальном барьере (см. §3.1) и суммированием результатов.
