Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V -*—U,ip -*—iр +, то уравнения U = const, $ + = const описывают семейство выходящих световых лучей, а координата U на бесконечности совпадает с обычной координатой запаздывающего времени. Метрика Керра в этих координатах получается из (4.4.2) преобразованием V = - U, <р = —<р +.
В отличие от метрики Шварцшильда, мы не будем рассматривать здесь продолжение метрики Керра внутри горизонта*). Причина этого состоит в следующем. В случае коллапса сферического тела, порождающего шварц-шильдовскую черную дыру, метрика пространства-времени вне коллапси-рующего тела является точно'метрикой Шварцшильда как вне, так и внутри черной дыры. При коллапсе невращающегося тела с малыми отклонениями от сферичности метрика вне черной дыры быстро стремится к шварцшиль-довской при t -»<». В гл. 12 мы увидим, что то же свойство имеет место и внутри шварцшильдовской черной дыры. Таким образом, внутренняя область шварцшильдовской метрики описывает реальную ’’внутренность” невращающейся черной дыры.
Ничего подобного нельзя сказать о метрике Керра. Во-первых, при сжатии любого вращающегося тела, превращающегося в черную дыру, вне тела метрика не может быть сразу стационарной (а значит, не может быть метрикой Керра), так как в процессе коллапса происходит излучение гравитационных волн. Это справедливо как для области вне горизонта, так и внутри горизонта. В области вне горизонта, как мы увидим в гл. 6, все отклонения от метрики Керна уносятся гравитационными волнами и предельная метрика при t есть решение Керра. Таким образом, для внешнего пространства-времени метрика Керра описывает реальную вращающуюся черную дыру.
*) Структура максимального аналитического продолжения метрики Керра -Ньюмена рассматривается в § 6.5.
62
Однако для области внутри горизонта — ни сразу после коллапса, ни с течением времени — метрика не стремится к решению Керра. Поэтому оно (внутри горизонта) не описывает внутренность реальной вращающейся черной дыры (подробно о строении черных дыр внутри горизонта будет говориться в гл. 12). Подчеркнем, что все рассмотренные выше свойства пространства-времени черной дыры справедливы только, если M > | а |. В противном случае в і ешении исчезает горизонт, и оно уже не описывает черную дыру. Появляются ’’патологические” особенности [Хокинг, Эллис (1973)], и вряд ли это решение может иметь какое-либо отношение к реальности. С физической точки зрения для образования объекта с M < < I a I требовалось бы сжатие вращающегося тела, обладающего столь большим угловым моментом, что при размерах г ^r+ линейная скорость вращения должна была бы превышать скорость света. Везде в дальнейшем (для незаряженной черной дыры) мы считаем M > | а | .
§ 4.5. Небесная механика вращающейся черной дыры
Рассмотрим движение по геодезическим пробных частиц в поле тяготения вращающейся черной дыры. В общем случае траектории довольно сложны, так как поле не обладает сферической симметрией. Подобное изложение вопроса см. Бардин и др. (1972), Стюарт и Уолкер(1973), Руффини, Уилер (1971), Мизнер, Торн, Уилер (1973), Шапиро, Тюкольский (1983), Дымникова (1986*). Важные аспекты гравитационного захвата частиц вращающейся черной дырой рассмотрены в работах Дымниковой(1982), Бичака, Стачлика (1976), В приведенных работах можно найти ссылки на многочисленные оригинальные статьи.
Движение пробных частиц мы рассматриваем по отношению к ’’абсолютному” пространству, введенному нами в § 4.2, т.е. по отношению к жесткой решетке хронометрической системы отсчета, описываемой координатами Боейра — Линдквиста (см. § 4.3).
Первые интегралы движения записываются в виде
. dr
d\
+ 0Iz - аЕ)2
dd
d\
d<p
~d\
dt
~7к
= {[E(r2 + а2) — I.za]2 - A[m2r2 + + (2*]} 1/2,
2(pi2 -E2) +
= jc?* — cos2fl|a2
= —(aE - -^7-)+ +a2)-Lza),
\ sin 0/ Д
(4.5.1)
(4.5.2)
(4.5.3)
¦ a(aE sin20 - Lz) + ¦
[E(r2
')-Lza],
Здесь m — масса покоя пробной частицы, X = т/т, где т -время частицы, E - постоянная энергия пробной частицы, Li проекция момента импульса частицы на ось вращения черной дыры, О.'
(4.5.4)
собственное - постоянная
63
найденный Картером (1968а) интеграл движения*):
Qt=Pe + cos20 [а2(т2 - ?2) + sin_20Z.2z], (4.5.5)
где Pe — 0-компонента 4-импульса пробной частицы. Движению ультрарелятивистской частицы соответствует предельный переход w-^0.
Рассмотрим сначала характерные особенности движения частиц в экваториальной плоскости вращающейся черной дыры. Выражения для с/г ДА и d^p/dX в этом случае могут быть записаны в виде [Шапиро, Тюкольский (1983)]
/ dr \2
г3 ( ——) = E2(г3 + a2r + 2Ma2 ) - AaMELz - (г - 2M)L2 - т2гА,
\ d\ J - (4.5.6)
dx (г - 2M)L~ + 2аМЕ
- ---- . (4.5.7)
d\ г А
Эти выражения являются аналогом уравнений (2.8.1) - (2.8.2) дляшварц-шильдовской черной дыры. Анализ особенностей движения производится точно таким же способом, как в § 2.8. В частности, приравнивая правую часть уравнения (4.5.6) нулю и решая его относительно Е, получаем ’’эффективный потенциал”. Экстремумы эффективного потенциала соответствуют круговому движению. Выражения для Екруг и /- круг имеют в этом случае вид (т = 1)
