Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
200
Л. П. БАУКАРТ, Р. СМОЛУХОВСКИЙ. Е. ВИГНЕР
Зону Бриллюэна нужно характеризовать теперь десятью символами: Г, А, Л, 2, /?, Г, М, S, X и Z. Однако при наличии случайного вырождения малое представление может измениться на оси симметрии и т. д. Не все комбинации символов соответствуют возможной зоне Бриллюэна. Малое представление Д на оси четвертого порядка должно содержаться в представлении центральной точки Г, если последнее рассматривать как представление группы Д, и аналогичные условия должны существовать для всех пар пересекающихся элементов симметрии. Табл. VII
Таблица VII. Соотношения совместности между Г и Д, Л, 2
г,
г2
г12
1 15
г'
A1
д2
A[A2
A^5
A2A5
Л,
A3
A2A3
A1A3
S1
S4
S1S1
222324
2j2223
Г1
г2
г'
112
г25
а;
A2
A(A2"
A1A5
A2A5
A2
Л,
A3
Л,Л3
Л2Л3
S2
S3
2223
21^3^4
2]2224
Таблица VIII. Соотношения совместности между Af и 2, Z, T
M1
Al2
M3
M4
M2-
к
<
щ
Si
S4
Si
S4
S2
S3
S2
S3
2223
Z1
Zi
z%
Zz
Z2
Z2
Z4
z<
Z2Z4
ZiZ3
г,
T2
т'2
т[
т\
ті
T2
Ti
Tb
Ть
показывает, в какие из представлений точек Д, Л и 2 могут переходить представления точки Г. Условия совместности между R и 7\ Л, S совпадают с условиями совместности между Г и А, Л, 2 (табл. VII). Условия совместности заметно уменьшают число возможных типов зон Бриллюэна. Наряду с полученными условиями совместности имеются и другие, связанные
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА 201
Таблица IX. Соотношения совместности между X и A, Z, S
X1
X2
*3
X4
*2
*з"
*5
Xs
*!
a2
a2-
а;
а;
a2
а.
a5
a5
Z1
Z1
Z4
Z2
Z2
Z3
Z3
Z3Z2
Z1Z4
S1
S4
S1
S4
S2
S3
S2
S3
S2S3
S1S4
Таблица X. Соотношения совместности на плоскостях симметрии
Плоскость симметрии
+
-
2,S4
A1A2A5
AjA2A5
Z1Z3
Z2Z4
SjS3
S2S4
A1A3
A2A3
TtT'2T6
T2T[T5
A1A3
A2A3
ky = kz< kx
S1S3
S2S4
A1A2A5
A2A1A5
kx d
S2S3
T1T2T5
т\т2ть
ZxZ,
Z2Z3
с волновыми векторами, для которых kx = 0; kx = ?у; ?y = kz\ kx Группа любого волнового вектора, удовлетворяющего
одному из этих условий, содержит плоскость симметрии, и соответствующая волновая функция принадлежит либо симметричному, либо антисимметричному представлению группы. Это представление должно содержаться в малых представления s &дрл& осей симметрии, лежащих в указанной плоскости
202
Л П БАУКАРТ, P СМОЛУХОВСКИЙ. Е. ВИГНЕР
В табл. X в столбце со знаком плюс приведены те представления вдоль осей, которые совместны с симметричным представлением в плоскости, а в столбце со знаком минус — те, которые совместны с антисимметричным представлением. Из таблицы следует, например, что представление Si несовместно с представлениями Ді, Д2, Z2, Z4, A2, T2, Т\.
Рассмотрим в качестве примера три зоны Бриллюэна, соприкасающиеся в точке kx = ky = kz = 0 и описываемые в этой точке представлением Г25. Вдоль оси второго порядка эти три зоны расщепятся на зоны, имеющие малые представления Si, S2, S4 соответственно (табл. VII). Рассмотрим зону с представлением S2. Вдоль оси четвертого порядка она будет обязательно иметь представление Д5 (табл. VII и X) и будет совпадать с одной из других зон. Вдоль оси третьего порядка она может иметь одно из двух представлений, A2 или Аз. Пусть это будет A2. Возможные представления для точки R в этом случае суть R2j /?і5> #i или R2s- Выберем представление R2. Этот выбор однозначно определяет выбор представлений S4 и T2 и, следовательно, Z4. Из табл. VIII находим представление M3, а из табл. IX — представление х5. Таким образом, полный символ зоны есть F25S2A5A2/?i5^2S4Z4A^3^5. Мы видим, что большая часть малых представлений однозначно определяется условиями совместности и предыдущим выбором.
Мы считаем, что данное описание зон Бриллюэна простой кубической решетки является полным с точки зрения симметрии. Разумеется, мы отдаем себе отчет, что многие типы зон, допускаемые чисто геометрическими соображениями, не будут существенны физически; они могут, например, отвечать слишком высоким энергиям. Однако нам казалось целесообразным один раз для простого случая провести геометрическое рассмотрение до конца.
Составление таблиц совместности не представляет затруднений. Интересуясь, например, условиями совместности между точками S и M1 мы должны взять из таблицы характеров в последней точке сведения, относящиеся к элементам, входящим и в S. К этим элементам относятся Е, C2, /C4J., JC2 (нужно брать элемент /C4 J., а не /C4, поскольку последний отвечает плоскостям симметрии kxkz или kykz, не входящим в группу S). Соответствующие характеры представления Af5, например, равны 2, 0, —2, 0. Видно, что это как раз сумма характеров представлений S2 и S3, и они, следовательно, совместны с M5. Таким * бразом, в дальнейшем не будет необходимости явно выписывать :т<?еия совместности для других решеток.
