Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
kxxt + куУі + kzzt = Піл (при і = і\). (4)
Тогда группа этого вектора содержит все элементы, преобразующие его так, что величина (кхх{ + kyyi + kzZi) /л остается равной целому числу при / = i\ и не изменяется при двух других значениях L Действительно, в рассматриваемом случае соответствующие волновые векторы — одни и те же.
Рассуждение, показывающее, что малое представление должно оставаться неизменным вдоль элемента симметрии, теряет силу для точек касания двух зон Бриллюэна, если это касание не вызвано условиями симметрии. В случае, когда для некоторого значения волнового вектора к энергии в двух зонах совпадают, причем это совпадение не есть следствие симметрии кристалла, говорят о случайном вырождении*). В точках случайного вырождения малые представления двух зон Бриллюэна могут меняться местами. Этот случай, однако, будет явно исключен из последующего рассмотрения. Можно показать, что для очень больших постоянных решетки случайное вырождение отсутствует, однако оно может иметь место для реальных значений постоянной решетки.
В последующих разделах мы применим полученные результаты к трем наиболее важным кубическим решеткам: простой, гранецентрированной и объемноцентрированной. Поскольку, например, для всех волновых векторов, лежащих на оси четвертого порядка, малые представления одинаковы, мы будем на-
*) Случайное вырождение рассматривается в работе Херринга, которая вскоре будет опубликована (см статью № 8 настоящего сборника —-Прим. ред.). Мы выражаем Херрингу благодарность за интересные обсуждения этого вопроса.
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА
195
зывать такое малое представление «представлением вдоль оси четвертого порядка»; аналогичная терминология будет использоваться и для других элементов симметрии.
Слэтер [6] отметил, что энергию следует считать периодической многозначной функцией волнового вектора ft, периоды которой даются векторами обратной решетки. Тогда, если рассматривать для некоторых ft одну, а для других ft другие ветви этой многозначной функции, то возникают «разрывы». В нашем изложении свойство периодичности содержалось в утверждении о тождественности двух волновых векторов, отличающихся на вектор обратной решетки г. Из каждой системы «тождественных» векторов удобно выделить один (обычно выбирается вектор с наименьшей длиной) и вообще исключить из рассмотрения все остальные. Множество этих «приведенных волновых векторов» образует внутреннюю часть зоны Бриллюэна, а их граница в пространстве kXy ky, kz (обычно считается, что на ней и располагаются разрывы) есть поверхность зоны.
Далее, энергия, рассматриваемая как функция волнового вектора ft, обладает полной симметрией обратной решетки. Действительно, волновые функции, отвечающие всем волновым векторам звезды, входят в одно неприводимое представление и, следовательно, принадлежат одному и тому же собственному значению энергии.
IV
Рассмотрим сначала влияние симметрии относительно инверсии времени. Названное преобразование переводит вектор ft в —ft. Таким образом, вектор —ft всегда входит в звезду вектора ft, даже в отсутствие центра симметрии, — энергия как функция ft принимает одинаковые значения в точках ft и —ft. Как и в задаче об отражении рентгеновских лучей, инверсия всегда добавляется к симметрии задачи*).
Для триклинной решетки, например, это означает, что производная энергии по ft обращается в нуль в центрах граней, на ребрах и в углах зоны Бриллюэна, т. е. в точках, удовлетворяющих условиям
IzxX1 + kytji + kzzt = Ti1U (/=1, 2, 3). (5)
Можно непосредственно убедиться, что группы этих волновых векторов содержат инверсию времени и, следовательно, волновые функции вещественны. Таким образом, среднее значение
*) См. [16] Однако более критическое обсуждение правила Фриделя мож но найти, например, в статье Эвальда [17].
13*
196
Л П БЛУКАРТ. P СМОЛУХОВСКИП, Е. ВИГНЕР
оператора возмущения (За), вычисленное с такими волновыми функциями, обращается в нуль, и изменение энергии пропорционально к2.
Подобного утверждения нельзя, однако, сделать в отношении всей поверхности зоны Бриллюэна, т. е. для точек, в которых выполняется лишь одно из соотношений (5). Производная энергии по волновому вектору в этих точках не обращается в нуль, и фактически они не образуют поверхности зоны Бриллюэна*).
В соответствии с программой, намеченной в разделе III, найдем теперь малые представления и их взаимосвязь для различных типов зон Бриллюэна в простых кубических, объемно-центрированных и гранецентрированных кубических решетках. Начнем с простой кубической решетки, хотя металлы с такой структурой и не известны.
V
Простая кубическая решетка. В этом случае поверхность зоны Бриллюэна есть куб, изображенный на рис. 2, с ребром
длины 2n/d. К внутренним элементам симметрии относятся: центр Г, ось третьего порядка Л, ось четвертого порядка Д, ось второго порядка S, плоскости симметрии AS, SA и ЛА. Группу волнового вектора, оканчивающегося на поверхности, проще всею получить, если построить все векторы, «тождественные» данному и имеющие ту же длину. Группа полученной таким путем фигуры и будет группой волнового вектора. Для произвольного вектора, оканчивающегося на поверхности, например, с координатами я/d, kyy kz, названная фигура содержит вектор —nid, ky9 kZy и, следовательно, группа волнового вектора состоит из плоскости симметрии kyk2. Аналогично для точки T фигура образована четырьмя векторами ±яД/, ±7t/dy kz и группа содержит ось четвертого порядка kz и все проходящие через нее плоскости симметрии. Эта группа изоморфна группе волнового вектора, оканчивающегося в точке А, и также содержащей ось четвертого порядка и все плоскости симметрии, проходящие через нее. Группы, соответствующие точкам ShS, изоморфны; для точки Z группа содержит пло-
