Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА
203
VI
векторы, добавление к вектору к вектора обратной решетки должно давать вектор, выходящий за пределы зоны Бриллюэна. Наиболее просто этому условию можно удовлетворить, если в качестве границы зоны выбрать ромбододекаэдр, противоположные грани которого отстоят друг от друга как раз на вектор обратной решетки (рис. 3). Расстояние
TH равно 2n/d*). Рис 3
Внутри зоны Бриллюэна элементы симметрии — такие же, как и в случае
простой кубической решетки: Г, А, Л, 2; соотношения совместности также сохраняются. Однако точка H обладает теперь полной кубической симметрией, поскольку при добавлении векторов обратной решетки она переходит во все вершины, лежащие на координатных осях. Точка P тождественна с тремя другими подобными вершинами, образующими тетраэдр.
Малые представления для других точек уже даны в предыдущих таблицах. Мы не будем выписывать условия совместности между точками и осями, поскольку их легко получить с помощью метода, описанного в предыдущем разделе. Заметим, что группа векторов, оканчивающихся в общей точке поверхносіи зоны, состоит из единичного элемента и плоскости симметрии JC2. Соотношения, аналогичные условиям совместности для простой кубической решетки (табл. X), приведены в табл. XIII.
Поскольку поверхность зоны Бриллюэна совпадает с плоскостями симметрии, нормальная производная энергии по волновому вектору обращается на этой поверхности в нуль.
*) При таком выборе векторы, лежащие внутри зоны Бриллюэна, при любом преобразовании симметрии переходят в векторы, также лежащие внутри зоны.
Объемноцентрированная кубическая решетка. В отличие от простои кубической решетки, в объемноцентрированной решетке форма поверхности зоны Бриллюэна не очевидна. В качестве основных векторов решетки здесь можно выбрать векторы с координатами \j2dy ±l/2dy ±l/2dy направленные по трем пространственным диагоналям. Кратчайшие векторы обратной решетки направлены по диагоналям граней и компоненты их суть{0, ±2n/dy ±2n/d}\ {±2n/dy 0, ± 2n/d}; {±2n/dy ± 2n/d9 0}. Поскольку внутри зоны Бриллюэна содержатся только различные волновые кг
204 л- П. БАУКАРТ. Р. СМОЛУХОВСКИЙ. Е. ВИГНЕР
Таблица XI. Характеры малых представлений P
P
E
зс42
8C3
6/C4 6/C2
Pl
1
1
1
1 1
Pl
1
1
1
-1 -1
Pz
2
2
-1
0 0
р*
3
-1
0
-1 I
Ps
3
-1
0
1 -І
Таблица XII. Характеры малых представлений M
N
E
С2
C2Il
C21 /
JC\ SC21 JC2W
JV1
, 1
1 1 1
N2
1
-і
1
-1 1
-1 -1 1
Ns
1
-і
-1
1 1
-1 1 -1
N4
1
і
— 1
— 1 I
1 — 1 — 1
N\
1
-і
1
-1 -1
I 1 -1
1
і
I
1 -1
-1 -1 -1
1
і
-1 -1
-I 1 1
<
1
-1
1 -1
1 -1 1
Таблица XIII. Соотношения совместности для плоскостей симметрии
Плоскость симметрии
+
-
k2 = 0
A1A2A5, G1G4
S1S2, AjA2A5, G2G3
A1A3, D1D3
S2S4, A2A3, D2D4
ky = kz < kx
Л]Л3>
A1A2A5, F1F3
A2A3, A2AjA5, F2F3
kx + ky = 2л
O1D4,
F\F3l GiG3
D2D31 F2F31 G2G4
VII
Гранецентрированная кубическая решетка. Структура зоны Бриллюэна гранецентрированной решетки довольно сложна. Решетка, обратная гранецентрированной, — объемноцентрирован-
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА
205
ная, кратчайшие векторы ее направлены по пространственным диагоналям и имеют компоненты {±2n/dt ±2n/d, ±2n/d}. Если принять, что зона Бриллюэна ограничена октаэдром с гранями ±х ± у ± z = Зя/d, то в зоне нельзя найти два вектора, которые отличались бы на один из кратчайших векторов обратной решетки. Тем не менее некоторые из них будут эквивалентными, отличаясь на сумму таких векторов: z
{±4n/dy 0, 0}; {0, ±4яК 0};
{0, 0 ±4n/d\.
Для того чтобы исключить эквивалентные векторы, надо отрезать W углы октаэдра плоскостями, параллельными координатным плоскостям и находящимися на расстояниях ±2n/d от них. В результате получается хорошо известная фигура — усеченный октаэдр, изображенный на рис. 4. При таком выборе границы ни один из векторов, лежащих внутри зоны, не выходит за ее пределы в результате каких-либо преобразований симметрии. Однако это условие, полностью определяющее форму зоны Бриллюэна для простой кубической и объемноцентрированной решеток, в рассматриваемом случае определяет положение только секущих плоскостей, но не плоскостей октаэдра. Например, на всех гранях октаэдра можно выдвинуть на некоторое расстояние части граней, заштрихованные (на одной из них) на рис. 4, и вдвинуть на то же расстояние незаштрихованные части граней. Получающаяся в результате фигура будет также удовлетворять всем необходимым требованиям. Положение секущих плоскостей, напротив, нельзя изменить. Так, если вынести одну из точек плоскости kx = 2nld за пределы зоны, мы должны будем перевести соответствующую точку плоскости k = —2n/d внутрь зоны. Но после этого отражение в плоскости kykz будет выводить векторы за пределы зоны Бриллюэна.
