Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
*) Именно с этим и связана важная роль инверсии времени (см. [7]). Даже если кристаллографический класс не содержит инверсии, вектор {kx, ky, kz) переходит в {—kx, —ky, —k2] при инверсии времени. Поскольку, как будет видно из дальнейшего, изложенные соображения определяют границы зоны Бриллюэна, операция инверсии времени играет здесь весьма существенную роль.
192
Л П БАУКАРТ. P СМОЛУХОВСКИЙ, E ВИГНЕР
III
Рассмотрим теперь собственное значение Е, которому соответствуют некоторое представление D и волновые функции ofi, ..., г|)п. Если умножить одну из этих функций на ?i (*хХ+куу+к2г)^ где х^ к^ ^— компоненты очень малого вектора, результат будет отвечать волновому вектору Hx и принадлежать некоторому новому представлению D''. Множество полученных таким образом новых представлений мы будем называть окрестностью представления D. Ясно, что собственное значение Е\ которому соответствует представление D', будет близко к собственному значению Е. Действительно, если функция г|?і удовлетворяет уравнению (1), то функция ty{el ^л'х+V+VO = ^ удовлетворяет уравнению
Второй член в левой части этого уравнения мал, и можно применить теорию возмущений. Таким путем мы найдем собственное значение уравнения (1) E', близкое к Е. Принадлежащая ему волновая функция будет обладать той же трансляционной симметрией, что и \|)р поскольку как невозмущенный оператор в уравнении (3), так и оператор возмущения
обладают полной трансляционной симметрией решетки.
Это — все сведения из общей теории, которые нам потребуются. Если собственному значению E соответствует звезда общего типа, то и значению E' также будет соответствовать звезда общего типа. Этот результат есть не более чем констатация хорошо известного факта, что энергия есть непрерывная (и даже дифференцируемая) функция компонент волнового вектора. Множество всех значений энергии и волновых функций, получающихся из некоторого заданного энергетического уровня при непрерывном изменении k (например, описанным выше методом), не касаясь точек, в которых звезда становится вырожденной, и определяет, собственно говоря, одну зону Бриллюэна. Необходимость ограничиться при определении зоны Бриллюэна лишь теми представлениями, которым соответствуют звезды общего типа, связана с тем, что, как будет видно из дальнейшего, для вырожденных звезд (подобных изображенным
ТЕОРИЯ ЗОН БРИЛЛЮЭНА
193
на рис. 1,6 и 1,0) две или более зоны Бриллюэна могут сливаться *).
Рассмотрим теперь значение энергии, для которого волновые векторы инвариантны относительно некоторых преобразований поворота или отражения. При этом ситуация по существу останется неизменной, коль скоро приведенные волновые векторы (или множители) для всех волновых функций различны. Если же, однако, две или более (скажем, s) волновых функций характеризуются одним и тем же волновым вектором и если выбрать компоненты кх, ку, кг так, чтобы новый волновой вектор к + и лежал в общей точке fe-пространства, то мы получим s ортогональных волновых функций с волновым вектором к + И и с энергиями, близкими к Е. Поскольку в общей точке fe-пространства две волновые функции с одним и тем же волновым вектором не могут принадлежать совпадающим уровням энергии, мы приходим к выводу, что все они должны принадлежать различным зонам Бриллюэна. При малых и последние очень близки друг к другу, а при значении энергии, равном Е, эти зоны Бриллюэна «сливаются». Слияние, следовательно, всегда будет иметь место для волновых векторов, инвариантных относительно некоторых преобразований симметрии **).
Надо исследовать еще два случая. Пусть, для начала, вектор и таков, что группа векторов к + и совпадает с группой вектора к. Тогда малые представления при энергиях EwE' эквивалентны друг другу — в противном случае даже при малых изменениях волнового вектора к волновые функции должны были бы сильно меняться. Таким образом, характер слияния не изменяется вдоль элементов симметрии.
Во втором случае группа вектора к + и представляет собой лишь подгруппу группы вектора к, содержащую, однако, не только единичный элемент. Этот случай осуществляется, например, при переходе с оси симметрии на плоскость симметрии, проходящую через эту ось, или при переходе от волнового вектора к = 0 на ось симметрии. Малые представления, соответствующие энергии E', суть неприводимые представления подгруппы; если малое представление, соответствующее энергии Е, приводимо как представление группы вектора к + и, то зоны Бриллюэна, соприкасающиеся в точке к, частично расщепятся при переходе к точке ft + и. Неприводимые части малого представления группы волнового вектора к + и и будут малыми
*) В литературе часто различают понятия «зона Бриллюэна» и «энергетическая зона». Говоря о слиянии зон, авторы имеют в виду второй случай. — Прим. ред.
**) Включая инверсию времени.
13 Р. Нокс, А. Голд
194
Л П БАУКАРТ. P СМОЛУХОВСКИЙ, E ВИГНЕР
представлениями этих расщепившихся в точке к + х зон Бриллюэна.
Итак, мы предлагаем характеризовать зону Бриллюэна малыми представлениями групп всех волновых векторов, группы которых не сводятся к единичному элементу. Для волновых векторов, лежащих па эквивалентных элементах симметрии, малые представления эквивалентны, а для элемента симметрии, входящего в подгруппу другого элемента, малое представление должно входить в малое представление последнего. Когда размерность малого представления равна s, мы имеем случай слияния s зон Бриллюэна, каждая из которых имеет одно и то же малое представление для рассматриваемого элемента симметрии. Вновь отметим одно важное обстоятельство. Пусть к есть вектор, компоненты которого при каком-нибудь значении і (скажем, при і = і\) удовлетворяют условию
