Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Га+(Л) = Г+(/Л) = Га(Л). (9.2)
Эти представления — четные относительно инверсии. Можно получить и второй набор неприводимых представлений группы О, Г~, нечетных относительно инверсии. Для этой цели надо положить (обозначая рассматриваемое множество представлений через Г«)
Г"(Л)=-Г« (JA) = W(A). (9.3)
Поскольку в группе G число классов вдвое больше, чем в группе Я, мы нашли таким путем все неприводимые представления. Обозначим символом {%} всю таблицу характеров группы Н. То-
ГЛ O]
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
75
гда таблицу характеров группы G можно схематически представить в виде
G
H
JH
T+
{%)
{X)
Г~
it)
{-X)
(9A)
Рассмотрим теперь кратко некоторые простые, но важные для дальнейшего точечные группы конечного порядка, с которыми мы будем иметь дело при изучении свойств симметрии молекул и, особенно, твердых тел. Сейчас, по-видимому, уместно сделать несколько замечаний относительно обозначений. По этому вопросу в литературе царит полный хаос. Химики, кристаллографы и физики, занимающиеся твердым телом, пользуются, как правило, совершенно различными наборами символов для обозначения одной и той же группы, ее элементов, классов и представлений. По-видимому, полностью договориться между собой не могут даже два автора, работающие в одной и той же области. Всякая попытка ввести какое-то единообразие свелась бы в конце концов к введению еще одной системы обозначений. Поэтому мы можем лишь посоветовать читателю проявлять осторожность с обозначениями в любых задачах, связанных с теорией групп. Сами же мы постараемся выбрать обозначения так, чтобы они в основном согласовались с принятыми в классических работах по теории твердого тела, представленных в этой книге. Желательно также, чтобы они имели эвристическую ценность и наилучшим образом соответствовали предрассудкам авторов и их представлениям об удобстве. Известное представление о разнобое в обозначениях можно получить, рассматривая различные символы для неприводимых представлений некоторой группы, например, Oh (иногда ее обозначают также через тЪт или (4/w)3(2/m)). Для удобства сравнения в табл. 9.1 собраны обозначения, используемые разными авторами для десяти неприводимых представлений и классов данной группы.
Вращения на угол 2я/л мы будем обозначать символом Cn, а на углы 2лк/п (k = 2, 3, ..., п) — символом С*. Отражения в плоскости, содержащей главную (высшего порядка) ось симметрии, обозначаются через av (v — вертикальная плоскость), а отражения в плоскостях, перпендикулярных к данной, — через он (h — горизонтальная плоскость). В таблице характеров класс будет представляться типичным элементом с «коэффициентом», обозначающим число элементов в классе (например, символ 4СІ
Таблица 9.1. Характеры полной кубической группы *)
BSW
Химические
Lomont
VB
г,
Alg
Ai
a
г2
A2g
A2
?'
г,2
Eg
A3
Y
1 15
Tig
A5
6'
А25
T2g
A4
є
Aiu
a'
A2U
?
Ґ
1 12
Eu
V
Тш
6
г25
T2U
є'
BSW Koster
Bethe
Г,
Гз Г5
г; г;
г;
E 3C42 6C4 16C2 8C3 У ЗУС\ 6УС4 6УС2 8УС3
E 3C2 6C4 6C2 8C3 / ЗаЛ 6S4 6ad оо6
8Sft
E 3C2 6C3 6C4 8C5
I 1
2 :
з
з
і і
-і і
0 -і -і о
1 о
і і
-і і
0 -і -і о
1 о
У ЗУС2 6УС3 6УС4 8УС-
1 1
2
з з -1 -1
-2
-з -з
1 1
-1
O O
-1 -1 1
O O
ГЛ 9)
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
77
обозначает класс из четырех элементов —вращений на углы (2л/3) Х2 = 4л/3 вокруг оси третьего порядка). Несобственные вращения обозначаются просто через /С*, где / — преобразование инверсии. Для самих групп мы будем пользоваться обозначениями Шенфлиса.
Группа Cn (С—циклическая) есть простая циклическая группа /г-го порядка. В нее входят вращения на углы 2nk/n вокруг одной оси дг-го порядка.
Рис. 9.2. Оси симметрии некоторых групп Cn и Dn (по Ландау и Лифшицу [2]).
Символ Cnh (h — горизонтальная плоскость) обозначает группу, получающуюся при добавлении к Cn горизонтальной плоскости симметрии, перпендикулярной к оси вращения. Это — абе-лева группа из 2п элементов.
Cnv (v — вертикальная плоскость) есть группа, которая кроме элементов группы Cn содержит также плоскость симметрии, проходящую через ось вращения. Наличие названной плоскости автоматически приводит к появлению еще (п—1) плоскостей отражения, проходящих через ось я-го порядка и образующих друг с другом угол піп. Эта группа — порядка 2п.
Группа Drt получается из Cn присоединением к ней еще оси второго порядка, перпендикулярной к л-кратной оси. Подобно
78
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
ГЧ IH
Cnvt эта группа (порядка 2п) содержит п осей второго порядка, пересекающихся под углом п/п.
Группа Dnh образуется при добавлении к элементам группы Dn плоскости отражения, проходящей через все оси второго порядка. Это автоматически приводит к появлению п вертикаль-ных плоскостей симметрии. Названную группу (порядка 4п) можно представить в виде прямого произведения Dnh = DnXC8, где группа C8 содержит элементы E и ал. Для четных п (= 2р) можно также написать D2Pt h = D2p X Сг.
