Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь #at — гамильтониан свободного атома, Kcryst — потенциал с должной точечной симметрией, X — параметр, характеризующий силу поля (к велико в сильном поле). Принимая во внимание результаты Неймана и Вигнера [4], видим, что термы, преобразующиеся по одному и тому же представлению точечной группы, не могут пересечься при возрастании К от промежуточного до большого значения.
В качестве явного примера рассмотрим энергетические уровни двух d-электронов, находящихся в различных оболочках и помещенных в сильное или промежуточное кристаллическое поле.
1. Сильное поле. Согласно таблице 10.1 одноэлектронное состояние с / = 2 расщепляется:
d<2> = Y3 + Y5. (10.18)
Возможные состояния системы определяются произведениями Уз X уз, Y3 X Ys. Ys X Y3. Ys X Ys- С помощью таблицы характеров получим одиннадцать термов.
Ya X Y3 = гі + г2 + гз>
Y3Xy5 = Y5XY3 = T4 + ^, (10.19)
Y5XY5 = r, + r3 + r4 + r5.
2. Промежуточное поле. Сначала выполним приведение типа (10.15):
d{2) X d(2> - D(4) + D(3) + Di2) + D({) + D{0\ (10,20)
ГЛ. 101 РАСЩЕПЛЕНИЕ ТЕРМОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
93
Далее, пользуясь таблицей 10.1, получим
Dw-r„ D(3) = r2 + r4 + r5,
D»> = r4,
/)(4) = Г1 + Г3 + Г4 + Г5.
(10.21)
D(2) = T3 + IY
Как и следовало ожидать, это те же одиннадцать термов, чгс и в случае (10.19).
Уз'Уз
—--Dl
УуУь
k—-3^
Гц
г*
¦к.
а?
4с
Гц____
U____
Отдельные
TnTTJ Взаимодейстбие ш Ятшы Сбободный кристалле злентроноЬ
Сальное поле _ Промежуточное
поле
Рис. 10.1. Схематическое изображение термов атома с двумя неэквивалентными d-электронами в поле симметрии Of1. Отметим, что точки пересечения пунктирных линий, соответствующих различным значениям Я, дают примеры случайного вырождения, не связанного с соображениями симметрии. Два уровня с одной и той же симметрией в этой схеме пересекаться не могут. Видно также, что основное состояние системы, находящейся в сильном поле, не обязательно связано с наинизшим термом свободного атома.
На рис. 10.1 представлена связь между промежутрчными и сильными полями на примере двух неэквивалентных d-зґлектро-нов, причем сделаны произвольные предположения о расположении термов. Параметр А,, введенный в формуле (10.17), возрастает справа налево.
Следующий пример относится к двум d-электронам в одной и той же атомной оболочке, находящейся в поле кубической
СИММеТрИИ. Зде'СЬ Требуется бОЛЬШаЯ ОСТОРОЖНОСТЬ, Ибо HeQOXQ-
94
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
[Ч. III
димо явно принимать во внимание принцип Паули. В принципе волновые функции и энергетические уровни системы можно было бы найти и с помощью проекционной техники. Мы, однако, воспользуемся методом Бете [1] (обычно его называют методом понижения симметрии). Пусть группа G содержит подгруппу // и пусть некоторая система функций образует базис неприводимого представления последней. Тогда представление группы G можно получить, подвергая указанные функции преобразованиям группы G, не входящим в Я. Так, например, может оказаться полезным исследовать пов'едение уровней атома при понижении симметрии окружающего поля от кубической до тетрагональной.
Неприводимые представления групп О и D4 связаны соотношением
Px-V-Sx0Wx04W). (10.22)
*D< R
Отсюда следует, что
T1 = G1, T2=G3, T3=G1-KG3, T4 = G2+G5,
Т5 = G4 + G5, Гб = G6, T7 = G6, T8 = G6 + G7.
(10.23)
Мы воспользовались здесь данными 2аблицы 9.1, а также таблицами характеров для групп D4 и G. В формуле (10.23) символы Г и G отвечают, соответственно, неприводимым представлениям кубической и тетрагональной групп. Нижние индексы соответствуют номерам представлений в таблицах характеров.
Двумерное представление G5 представляет собой единственное вырожденное представление группы D4. Это вырождение можно снять, выделяя одну из осей второго порядка и понижая симметрию до ромбической. Обозначим неприводимые представления последней группы (D2) через Пользуясь таблицей характеров группы D2, получаем
G1 = G3 = &х, G2 = G4 = 9Ъ G5 = ^3 + ^4. * (10.24)
Все неприводимые представления группы Di — одномерные, поэтому произведение двух неприводимых представлений снова будет неприводимым:
\ X о? і = Q^Ij Q^l = \ j <?^2Х <$$ = Q^4) ^jQ
g^3 X Q^4 = а?2> ^Х^^^З*
В кристаллическом поле кубической симметрии flf-уровень расщепляется на представления уз и Ys (в обозначениях Бете — flfY, de). С учетом спина первое из них содержит четыре состоя-
ГЛ. 10) РАСЩЕПЛЕНИЕ ТЕРМОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
95
ния, а второе — шесть*). О разложении на эти представлений мы будем говорить как о расщеплении на подоболочки. Пусть, для начала, в каждой подоболочке находится по одному электрону. Тогда результирующее представление дается произведением
уз X У5-Г4 + Г5, (10.26)
и мы можем, не нарушая принципа Паули, получить либо син-глетный (T4), либо триплетный терм (Гб). Существует всего 4 X 6 = 24 таких состояния. С другой стороны, если оба электрона находятся в подоболочке уз» то принцип Паули допускает только шесть комбинаций. Мы имеем
